Vlnění

Kdo by neznal ten krásný pocit! Odpočívat na prohřáté písečné pláži a jen tak bezstarostně pozorovat vlny valící se k pobřeží. Kochat se nádhernými barvami, které oceán dokáže ze slunečních paprsků vykouzlit, a při tom se nechat ukolébat příjemným šuměním zpěněné vody.

Vlnění neodmyslitelně patří k prázdninové pohodě u moře. Kromě vln na vodní hladině jste pravděpodobně poznali ještě další příklady vlnění – zvuk a světlo. Vlnění je totiž jedním z nejběžnějších fyzikálních dějů. V této kapitole se dozvíte, co je podstatou vlnění, a podrobněji se zaměříme na vlnění mechanické.

Co je to vlnění?

Obecně můžeme říci, že zdrojem vlnění je vždy kmitající objekt. Zdroj rozkmitává okolní prostředí, kterým se kmitání šíří, a přenáší tím energii.

Vlnění má nezastupitelný význam při komunikaci – můžeme jím přenášet informace bez nutnosti přesouvat látku.

Podle povahy „toho, co kmitá“, rozlišujeme

• vlny mechanické,
• vlny elektromagnetické,
• vlny gravitační.

Mechanické vlnění je charakteristické tím, že kmitají atomy nebo molekuly v látce. Mechanické vlnění může existovat v pevných látkách, v kapalinách i v plynu, ale nemůže nastat ve vakuu. Rychlost šíření mechanických vln závisí na druhu vlny a typu prostředí. Zdrojem mechanických vln je vždy chvějící se těleso. Nejběžnějším příkladem mechanického vlnění jsou vlny na vodní hladině, zvuk a seismické vlny – viz níže.

Elektromagnetické vlnění je tvořeno oscilacemi elektrického a magnetického pole. Toto vlnění není vázáno na přítomnost atomů a molekul, může se šířit v látkovém prostředí i ve vakuu. Rychlost šíření elektromagnetických vln je ve vakuu pro všechny pozorovatele stejná a je rovna 3 ⋅ 10⁸ m/s. Zdrojem elektromagnetických vln jsou kmitající náboje, procesy v atomech a procesy doprovázející interakci elementárních částic. Všechny elektromagnetické vlny mají strukturu znázorněnou na obrázku 22.11, vzájemně se liší frekvencí. Z elektromagnetického spektra vnímá člověk pouze viditelné světlo, ovšem změřit a vytvořit dokážeme vlny rádiové, záření mikrovlnné, infračervené, ultrafialové, rentgenové a gama záření. Světlo a další elektromagnetické vlny mají pro lidstvo obrovský význam a jsou jim věnovány kapitoly 24 a 26.

Gravitační vlny spočívají v pravidelně se opakujících změnách zakřivení časoprostoru. Jejich existence byla předpovězena teoreticky již v roce 1916 Albertem Einsteinem. Poprvé byly tyto vlny experimentálně zaregistrovány až v roce 2015 na detektoru LIGO v USA. Rychlost šíření gravitačních vln je stejná jako rychlost vln elektromagnetických ve vakuu, tedy 3 ⋅ 10⁸ m/s. Více podrobností najdete na konci kapitoly 17.

Vlnění podélné a příčné

Podle směru kmitání rozlišujeme vlny podélné a vlny příčné.

U podélného vlnění je směr kmitání rovnoběžný se směrem šíření vlny. Jedná se typicky o tlakové vlny – například zvuk v kapalinách a plynech, ale i některé druhy seismických vln. Animace.

U příčného vlnění je směr kmitání kolmý na směr šíření vlny. Jde typicky o elektromagnetické vlny ve vakuu nebo některé druhy mechanických vln v pevných látkách. Animace.

Kontrolní otázka

Mexická vlna při fotbalovém utkání se dá zařadit mezi

podélné vlnění,
příčné vlnění?

Odeslat  

Příklady mechanického vlnění

V dalším textu této kapitoly se budeme zabývat pouze mechanickými vlnami.

Zvuk je mechanické vlnění, které vnímáme sluchem. Zdrojem zvukového vlnění je vždy kmitající těleso, například membrána reproduktoru, kmitající hlasivky, kmitající struna. Vibrující membrána reproduktoru se pohybuje tam a zpět a způsobuje zhušťování a zřeďování molekul okolního vzduchu ve své těsné blízkosti – viz obrázek 22.15. Zhuštění vzduchu, čili tlaková vlna, se postupně šíří od zdroje do prostoru. Molekuly vzduchu kmitají tam a zpět a svým kmitáním předávají energii od zdroje do prostoru. Tento kmitavý pohyb molekul se skládá s jejich chaotickým tepelným pohybem.

Zvuk v plynech a kapalinách je vždy podélné vlnění, v pevných látkách může mít podobu jak podélného, tak příčného vlnění.

Vlny na vodní hladině vzniknou nejčastěji dopadem předmětu na hladinu nebo působením větru. Přestože v určitém místě můžeme pozorovat kmitání výšky hladiny nahoru a dolů, nejedná se o příčné vlnění. Ve skutečnosti opisují molekuly vody (a s nimi i drobné pevné částice a plankton) v hluboké vodě téměř kruhové trajektorie. Míč ležící na hladině by se pohupoval jak ve svislém, tak vodorovném směru.

Zemětřesení neboli seismické vlny jsou mechanické vlny šířící se Zemí. Obvykle se dělí na vlny objemové (P a S) a povrchové (R a L). Vlna P je podélná a jako jediná se může šířit tekutým pláštěm a tekutými oblastmi vnějšího jádra Země. Vlna S je příčná a prochází pevnou zemskou kůrou. Vlny R (Rayleighova, která připomíná vlny na vodní hladině) a L (Loveho, příčná) se mohou šířit jen při povrchu zemské kůry. Každý druh vlny má jinou rychlost šíření, proto se z několika málo měřících stanovišť dá přesně zrekonstruovat poloha, čas vzniku a síla zemětřesení – viz motivační aktivita v této kapitole.

Fyzikální veličiny popisující vlnění

Každá mechanická vlna je charakterizována rychlostí šíření prostředím a amplitudou. V případě periodických vln, čili vln vznikajících pravidelným chvěním zdroje, se k nim přidává ještě frekvence, perioda a vlnová délka. Připomeňme se jejich definice.

Velikost rychlosti šíření vlnění vypočítáme ze známého vztahu \(v=s/t\), tedy jako dráhu, kterou vlna urazí za časovou jednotku. Vlnění se může šířit všemi směry, které má k dispozici. Trhneme-li prudce zahradní hadicí, vzniklá vlna se šíří podél hadice, tedy v 1D. Po vhození kamene do vody se na hladině vytvoří soustředné kruhové vlny, šíří se tedy ve 2D. Zvukové vlny vzniklé mluvením se šíří do všech směrů, tedy ve 3D. Z mechaniky víme, že rychlost je vektorová veličina, v následujícím výkladu budeme uvažovat pouze velikost rychlosti šíření ve směru, který nás zajímá.

Rychlost šíření závisí na druhu vlny a na prostředí, v němž se šíří. Situace je dobře patrná pro zvuk, u kterého v různých prostředích naměříme řádově tyto hodnoty:

• v kovech 5 000 m/s,
• v kapalině 1 500 m/s,
• ve vzduchu 340 m/s.

V pevné látce jsou atomy blízko u sebe a vzájemně jsou propojeny pevnými vazbami, takže vychýlení určité vrstvy atomů se ihned projeví silou působící na sousední vrstvu atomů. Naopak v plynu jsou atomy a molekuly výrazně dál od sebe a působí na sebe pouze během vzájemných srážek. Proto je přenos energie mezi částicemi výrazně pomalejší.

Velikost rychlosti šíření zvuku ve vzduchu závisí mírně i na jeho teplotě. Pro suchý vzduch a teploty blízké pokojové teplotě můžeme používat přibližný vztah

kde \(t\) je teplota vzduchu ve °C a \(v_\mathrm{z}\) rychlost zvuku v m/s.

Jak uvidíme v oddílu věnovaném hudebním nástrojům, teplota, a tedy i rychlost šíření ovlivňují výšku tónu vznikajícího v dechových nástrojích, tedy jejich ladění.

Kontrolní otázka

Číselná hodnota 0,607 v předchozím vztahu znamená:

jaká je rychlost šíření zvuku při teplotě 0 °C;
teplotu, při níž se zvuk šíří rychlostí 340 m/s;
o kolik se zvýší rychlost šíření při ohřevu vzduchu o 1 °C;
dráhu, kterou zvuk ve vzduchu urazí za 1 sekundu.

Odeslat  

Kontrolní otázka

Při jaké teplotě má rychlost zvuku ve vzduchu hodnotu 340 m/s? Napište číselný výsledek zaokrouhlený na celé °C.

Odeslat

Poznámka na okraj: Rychlost zvuku v ideálním plynu

Na základě termodynamických úvah se dá dokázat, že rychlost šíření zvuku v ideálním plynu je

\[ v_\mathrm{z} = \sqrt{\frac{\gamma RT}M}\;, \]

tedy přímo úměrná odmocnině z termodynamické teploty \(T\) (vyjádřené v kelvinech). Konstanta \(R\) je univerzální plynová konstanta \(R=8{,}314\ \mathrm{J/mol}\cdot\mathrm{K}\), \(\gamma\) je Poissonova konstanta pro daný plyn (pro dvouatomové molekuly \(\gamma=1{,}40\)) a \(M\) je molární hmotnost plynu.

Je tedy zřejmé, že rychlost zvuku ve vzduchu nezávisí na atmosférickém tlaku, ale naopak závisí na jeho vlhkosti prostřednictvím molární hmotnosti \(M\) a že tato závislost není přesně lineární.

Známe-li rychlost zvuku \(v_{\mathrm{z}0}\) při určité teplotě \(T_0\), můžeme rychlost zvuku při jiné teplotě \(T\) vypočítat ze vztahu \(v_\mathrm{z}=v_{\mathrm{z}0}\sqrt{T/T_0}\).

Lineární vztah uvedený ve výkladu lze z tohoto přesného odvodit Taylorovým rozvojem pro malé odchylky \(\Delta T\) od teploty \(T_0\). Vezmeme \(T_0=273{,}15\ \mathrm{K}\), \(v_{\mathrm{z}0}=331{,}57\ \mathrm{m/s}\) a teplotu \(T=T_0+\Delta T\). Potom pro \(\Delta T\ll T_0\) platí

\[ v_\mathrm{z} = \] \[ = v_{\mathrm{z}0}\sqrt{\frac{T}{T_0}} = \] \[ = v_{\mathrm{z}0}\sqrt{\frac{T_0+\Delta T}{T_0}} = \] \[ = v_{\mathrm{z}0}\sqrt{1+\frac{\Delta T}{T_0}} \approx v_{\mathrm{z}0}\left(1+\frac{\Delta T}{2T_0}\right) = \] \[ = 331{,}57 + 0{,}607\Delta T\;. \]

Ve fyzice je amplituda vlnění definována jako maximální výchylka z rovnovážné polohy. V případě vln je to tedy maximální výchylka kmitajících částic prostředí vůči stavu, kdy se vlna nešíří. V drtivé většině případů dochází při kmitání k vnitřnímu tření v prostředí. To způsobuje, že je mechanická vlna tlumená – její amplituda klesá se vzdáleností od zdroje.

Poznámka na okraj: Souvislost mezi amplitudou a vzdáleností od zdroje

Amplituda vlnění klesá s rostoucí vzdáleností od zdroje i z jiného důvodu než jen kvůli tření. Tento pokles je dobře patrný u zvuku – vzdalujeme-li se od zdroje, hlasitost klesá.

Uvažujme vlny v prostoru (3D). Předpokládejme, že zdroj mechanického vlnění Z předává do části prostoru vymezené prostorovým úhlem \(\Omega\) stálé množství energie za sekundu. Předpokládejme dále, že vnitřní tření v prostředí je zanedbatelné. Částice prostředí si kmitáním postupně předávají vyzářenou energii. Vyzářená energie tedy musí nejdříve projít plochou \(S_1\), pak plochou \(S_2\) atd. (viz obrázek 22.20). Množství energie, které vlny přinesou na 1 m² plochy za 1 s, nutně klesá se vzdáleností od zdroje, vlna tedy přirozeně „slábne“. Proto i v prostředí bez tření bude amplituda vlnění ve větší vzdálenosti \(r_2\) od zdroje vždy menší než v kratší vzdálenosti \(r_1\).

Energie nesená vlněním je úměrná druhé mocnině amplitudy. Potom ve 3D klesá energie kvadraticky a amplituda lineárně s rostoucí vzdáleností. Podrobněji věc rozebereme pro intenzitu zvuku.

Situace je jiná ve 2D (např. vlny na vodní hladině vytvořené dopadem předmětu) a v 1D (např. šíření zvuku uvnitř roury). Můžete si snadno odvodit, že ve 2D klesá energie lineárně a amplituda jako funkce odmocnina. Při šíření pouze v jednom rozměru a při zanedbatelném tření se vlnění teoreticky netlumí (viz provázkový telefon).

Fyzikálně zajímavá je i závislost amplitudy na vzdálenosti od zdroje, který není bodový – typickým příkladem je rovnoměrně hučící dálnice (lineární zdroj). Situace má válcovou symetrii, energie klesá lineárně se vzdáleností, a tedy amplituda klesá jako funkce odmocnina. Znamená to, že jestliže se vzdalujeme od dálnice, hluk klesá pomaleji než například hluk od bodového zdroje.

Perioda vlnění je rovna době, za niž částice prostředí, kterým se šíří vlna, vykoná jeden kmit. Perioda vlnění je dána periodou kmitání zdroje.

Frekvenci vlnění definujeme jako počet kmitů, které vykoná částice prostředí za sekundu. Obě tyto veličiny jsou podrobněji vysvětleny v kapitole 21.

Veličinou charakteristickou pro periodické vlnění je vlnová délka. Značí se řeckým písmenem \(\lambda\) (lambda) a její jednotkou je metr. Vlnová délka je definována jako dráha, kterou vlna urazí za jednu periodu. Dráha uražená při pohybu stálou rychlostí je \(s=vt\), takže pro čas rovný jedné periodě \(t=T\) snadno odvodíme základní vztah pro vlnovou délku:

Vlnová délka má zajímavou vlastnost, díky které se snadno měří. Vlnová délka je totiž vzdálenost, po níž se vlna v prostoru opakuje, čili prostorová perioda vlny. Učeně řečeno, vlnová délka je nejmenší vzdálenost mezi dvěma částicemi, které kmitají se stejnou fází, měřená ve směru šíření vlny. Vlnová délka je tedy vzdálenost například mezi dvěma sousedními hřbety vln na vodní hladině.

Kontrolní otázka

Na obrázku 22.22 kmitají

body C a E s opačnou fází,
body B a D ve fázi,
body D a H ve fázi,
body C a G s opačnou fází.

Odeslat  

Kontrolní otázka

K pobřeží dospěje za minutu 12 hřbetů vln. Vlnová délka je

12 m,
5 m,
1/12 m,
nelze určit.

Odeslat  

Z počtu hřbetů vln za minutu můžeme určit frekvenci vlnění \(f=12/(60\ \mathrm{s})=0{,}2\ \mathrm{Hz}\). Časová perioda je tedy zřejmě 5 s. K výpočtu vlnové délky bychom potřebovali znát ještě rychlost šíření vln.

Kontrolní otázka

Tón komorní a, podle něhož se ladí symfonický orchestr, má frekvenci 440 Hz. Jaká je vlnová délka tohoto zvuku ve vzduchu? Rychlost šíření zvuku je 340 m/s.

přibližně 8 m,
přibližně 1,3 m,
přibližně 0,8 m,
nelze určit.

Odeslat  

Příklad 1

Pomocí obrázku 22.23 vysvětlete, jak vznikají a jak se šíří vlny tsunami a proč u pobřeží roste jejich výška. Rychlost šíření povrchových vln na vodě závisí na hloubce, přesněji řečeno, se zmenšující se hloubkou klesá i rychlost šíření vln.

Řešení:

Vlna tsunami vzniká nejčastěji vibracemi mořského dna při pohybu litosférických desek během zemětřesení nebo výbuchem podmořské sopky. Na volném hlubokém moři mají vzniklé vlny na hladině vlnovou délku řádově stovky kilometrů a amplitudu desítky centimetrů, takže pro plavidla nepředstavují reálné nebezpečí. Se zmenšující se hloubkou klesá i rychlost šíření vln. Podle vztahu \(\lambda=v/f\) vidíme, že jak se vlna šíří k pobřeží, její vlnová délka se musí zmenšovat. Jenže voda je téměř nestlačitelná, takže objem vody původně rozprostřený do šířky stovky kilometrů se postupně zvedá do výšky a vytváří u pobřeží ničivou vlnu, která následně smete vše, co jí stojí v cestě.

Poznámka na okraj: Vlnový balík

Žádný zdroj mechanického vlnění nekmitá nekonečně dlouho. Proto je každá mechanická vlna v čase i v prostoru omezená – má začátek a konec. Takto omezenému vlnovému útvaru se říká vlnový balík neboli vlnové klubko. Vlnový balík se matematicky dá získat složením velkého počtu vln různých frekvencí (různých vlnových délek). Pozoruhodné je, že tento balík se jako celek pohybuje v některých hmotných prostředí jinou rychlostí (tzv. grupová rychlost), než je rychlost šíření vln v tomto prostředí (tzv. fázová rychlost). Grupová rychlost udává rychlost, jakou vlny přenášejí energii prostředím. Například pro vlny na hluboké vodě je fázová rychlost dvojnásobkem grupové rychlosti.

Rovnice postupné vlny

Podobně jako jsme v kapitole 21 zkoumali kmitání jediného tělesa, chtěli bychom nyní odvodit rovnici popisující šíření vlny. Vyjdeme z následujících zjednodušujících předpokladů:

• zdroj vlnění se nachází v počátku soustavy souřadnic a kmitá harmonicky podle předpisu \(y_\mathrm{Z}=y_\mathrm{m}\sin(\omega t)\),
• vlna se šíří jen v kladném směru osy \(x\) a není tlumena.

Základem naší úvahy je fakt, že každá částice prostředí vykonává podobný pohyb jako zdroj, ovšem kmitání této částice se děje se zpožděním. Toto zpoždění – označíme je \(\Delta t\) – se rovná době, za kterou vlna dospěje od zdroje Z do místa, kde se uvažovaná částice nachází (na obrázku 22.25 je to bod B).

Zpoždění \(\Delta t\), s jakým kmitá bod B oproti zdroji Z, snadno určíme z definice rychlosti šíření vlny \(\Delta t=x_B/v\).

Jelikož částice v bodě B opakuje opožděně pohyb zdroje, potom pro výchylku z rovnovážné polohy uvažované částice platí

Dosazením za úhlovou frekvenci \( \omega =2\pi/T \) a úpravou s využitím \(\lambda=vT\) odvodíme rovnici pro kmitání částice v bodě B

Okamžitá výchylka z rovnovážné polohy částice v bodě B závisí na dvou proměnných – na čase t a na vzdálenosti od zdroje \(x_B\).

Zobecněním pro libovolný bod prostředí ve vzdálenosti \(x\) od zdroje získáváme rovnici postupné vlny šířící se ve směru osy \(x\)

Tato rovnice určuje, jak bude kmitat libovolný bod prostředí, kterým se šíří vlna. Tím je ovšem vlna jednoznačně popsána. Můžete si všimnout, že harmonická vlna je periodická v čase (perioda \(T\)) i v prostoru (vlnová délka \(\lambda\)), přičemž tyto dva parametry jsou vzájemně svázány rychlostí šíření \(\lambda=vT\).

Výraz v hranaté závorce

se nazývá fáze vlny, a jelikož je argumentem funkce sinus, vyjadřuje se v radiánech.

Vliv jednotlivých parametrů si můžete vyzkoušet v animaci.

Příklad 2

Mechanická vlna je popsána rovnicí \(y=0{,}15\sin(0{,}90t-0{,}31x)\). Číselné hodnoty jsou vyjádřeny v základních jednotkách SI.

1. Určete amplitudu, periodu, vlnovou délku, frekvenci a rychlost šíření vlny.
2. Načrtněte tvar vlny v čase \(t=2\ \mathrm{s}\).
3. Znázorněte časový průběh kmitání částice ve vzdálenosti \(x=15\ \mathrm{m}\) od zdroje.

Řešení:

a) Porovnáním s obecným tvarem rovnice postupné vlny zjišťujeme, že

• amplituda je \(y_\mathrm{m}=0{,}15\ \mathrm{m}\);
• \(2\pi/T=0{,}90\), takže perioda \(T=7{,}0\ \mathrm{s}\);
• \(2\pi/\lambda=0{,}31\), takže vlnová délka \(\lambda=20\ \mathrm{m}\).

Frekvence je převrácenou hodnotou periody \(f=1/T=0{,}14\ \mathrm{Hz}\).

Rychlost šíření vlny spočítáme pomocí vlnové délky \(v=\lambda/T=2{,}9\ \mathrm{m/s}\).

b) Do rovnice postupné vlny dosadíme za čas \(t=2\ \mathrm{s}\),

\[ y = 0{,}15\sin(1{,}8-0{,}31x) \]

a vykreslujeme závislost \(y\) na \(x\). Použijte znalosti z matematiky.

Pokud byste přece jen váhali, doporučujeme následující „kuchařku“:

1. nejdříve vyznačíme amplitudu 0,15 m (meze, v nichž sinusoida kmitá),
2. poté vyznačíme vlnovou délku 20 m (vzdálenost, po níž se průběh křivky začne opakovat),
3. vypočítáme výchylku \(y_0\) pro \(x=0\ \mathrm{m}\) (průsečík se svislou osou) – pozor, kalkulačka musí být přepnuta na radiány,
4. vypočítáme výchylku \(y_1\) pro \(x=\lambda/4=5\ \mathrm{m}\) (čtvrtina periody),
5. nakonec nakreslíme sinusoidu.

c) Do rovnice postupné vlny dosadíme vzdálenost \(x=15\ \mathrm{m}\),

\[ y = 0{,}15\sin(0{,}90t-4{,}65) \]

a vykreslujeme závislost \(y\) na \(t\).

Vlnové jevy

V předchozím textu jsme se naučili matematicky popsat harmonickou rovinnou vlnu a nyní se seznámíme s tím, co vlny obecně „umí“. Projdeme fyzikální jevy, které jsou pro vlny typické – podle nich poznáme, že daný objekt má vlnovou povahu. Patří mezi ně:

• odraz vlnění,
• lom vlnění,
• Dopplerův jev,
• ohyb vlnění a
• interference.

Abychom získali i vizuální představu, k čemu vlastně dochází, budeme ve schématech znázorňovat vlny pomocí tzv. vlnoploch. Vlnoplochy jsou křivky nebo plochy spojující místa, kde částice prostředí mají v daný okamžik vzájemně stejnou fázi. Vlnoplochy tvoří například hřbety vln na vodní hladině.

Odraz vlnění

Odraz vlnění nastává na rozhraní dvou prostředí, kde se skokově mění jejich fyzikální vlastnosti. Typickým příkladem je odraz zvuku od stěny v místnosti, odraz seismických vln na rozhraní mezi pevnou zemskou kůrou a kapalným pláštěm nebo odraz ultrazvuku na rozhraní dvou tělesných orgánů. Během odrazu se mění směr šíření, naopak frekvence a vlnová délka zůstávají zachovány.

Situace je schematicky znázorněna na obrázku 22.29. Vlna přichází k rozhraní pod úhlem dopadu \(\alpha\) a odráží se pod úhlem odrazu \(\alpha' \). Ve fyzice je zvykem tyto úhly měřit od kolmice k rozhraní. Platí zákon odrazu \(\alpha'=\alpha\). Všimněte si, že vlnoplochy zůstávají na rozhraní spojité (například hřeben odražené vlny navazuje na hřeben vlny dopadající).

Příklad 1

Sonar umístěny na rybářské lodi vyslal krátký ultrazvukový signál směrem ke dnu a zaregistroval dvě odražené vlny 0,21 s a 0,27 s od vyslání. Určete hloubku moře a hloubku, v níž se nachází hejno ryb. Rychlost šíření ultrazvuku ve vodě je 1,48 ⋅ 10³ m/s.

Řešení:

Rybářský sonar funguje na principu ozvěny. Krátký ultrazvukový signál je vyslán k překážce, na níž se odráží. Sonar měří dobu \(t\) mezi vysláním a přijetím odražené vlny. Vlnění přitom urazí dráhu \(s=vt\), která je dvojnásobkem vzdálenosti mezi zdrojem a překážkou – viz obrázek 22.31.

Číselně vyjádřeno

\[\begin{aligned} s_1&=vt_1=1{,}48\cdot10^{3}\ \mathrm{m/s}\cdot0{,}21\ \mathrm{s}=310\ \mathrm{m}\;,\\ s_2&=vt_2=1{,}48\cdot10^{3}\ \mathrm{m/s}\cdot0{,}27\ \mathrm{s}=400\ \mathrm{m}\;. \end{aligned}\]

Hejno ryb se nachází v hloubce 155 m, hloubka moře je 200 m.

Odraz vlnění v praxi

Poznámka na okraj: Odraz na pevném a volném konci

Kromě zákona odrazu a spojitosti vlnoploch na rozhraní souvisí s odrazem ještě jedna fyzikální zajímavost. Pokud se vlna šíří k okraji prostředí a ten není upevněn (konec je volný a může kmitnout), odražená vlna se vrací zpět se stejnou fází. Můžete to pozorovat, například když prudce trhnete volně ležící zahradní hadicí. Pokud je ovšem okraj upevněn tak, že kmitnout nemůže (pevný konec), vrací se odražená vlna s opačnou fází. To nastává například u struny na kytaře. Jak uvidíme dále, dopadající a odražená vlna se skládají, což vede k dalším zajímavým jevům.

Lom vlnění

Lom spočívá ve změně směru šíření vlnění na rozhraní dvou prostředí. Je přímým důsledkem změny rychlosti šíření při přechodu z jednoho prostředí do druhého.

Situace je znázorněna na obrázku 22.34. Rovinná vlna přichází k rozhraní pod úhlem dopadu \(\alpha_1\) (měřeným od kolmice). Frekvence vln \(f\) před i za rozhraním zůstává stejná, takže pokud se mění rychlost šíření \(v\), musí se podle vztahu \(v=\lambda f\) změnit i vlnová délka \(\lambda\). Na rozhraní zůstává vlna spojitá (například hřeben dopadající vlny „pokračuje“ jako hřeben vlny lomené), takže změna vlnové délky nutně vede ke změně směru šíření. Jsou-li \(v_1\) a \(v_2\) rychlosti šíření v prvním a druhém prostředí, splňuje úhel lomu \(\alpha_2\) (měřený od kolmice) podmínku

zvanou zákon lomu. Tuto argumentaci lze použít i pro elektromagnetické vlny (světlo) – více podrobností k lomu světla najdete v kapitole 23.

Poznámka na okraj: Odvození zákona lomu

Zákon lomu jednoduše odvodíme z podmínky spojitosti vlnoploch na rozhraní – viz obrázek 22.35. V pravoúhlém trojúhelníku OAB platí

\[ \sin\alpha_1 = \frac{|OA|}{|OB|} = \frac{\lambda_1}{|OB|}\;. \]

Podobně v pravoúhlém trojúhelníku OBC platí

\[ \sin\alpha_2 = \frac{|BC|}{|OB|} = \frac{\lambda_2}{|OB|}\;. \]

Vydělením těchto rovnic zjišťujeme, že

\[ \frac{\sin\alpha_1}{\sin\alpha_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2} \]

Vlnová délka souvisí s rychlostí šíření vztahem \(\lambda=v/f\), přičemž frekvence vlnění je nad i pod rozhraním stejná. Odsud již získáváme vyjádření zákona lomu pomocí rychlostí šíření vln v prostředích

\[ \frac{\sin\alpha_1}{\sin\alpha_2} = \frac{v_1}{v_2}\;. \]

Dopplerův jev

Dalším zajímavým jevem typickým pro vlnění je Dopplerův jev. Popsán byl už v roce 1842 Christianem Dopplerem, profesorem matematiky na pražské technice. Pozorovatelný je jak pro mechanické, tak elektromagnetické vlny. Spočívá ve změně frekvence vlnění, pokud se vůči sobě zdroj vlnění a přijímač pohybují:

• frekvence vlnění zaregistrovaná přijímačem \(f_\mathrm{P}\) je větší než frekvence zdroje \(f_\mathrm{Z}\), pokud se vzájemně přibližují,
• frekvence vlnění zaregistrovaná přijímačem \(f_\mathrm{P}\) je menší než frekvence zdroje \(f_\mathrm{Z}\), pokud se vzájemně vzdalují.

Pokud se zdroj a přijímač vůči sobě nepohybují, frekvence \(f_\mathrm{P}\) a \(f_\mathrm{Z}\) jsou stejné.

Dopplerův jev můžete dobře pozorovat, nebo lépe řečeno poslouchat, když zastavíte na odpočívadle u dálnice. Kolem vás projíždějí stálou rychlostí jiná auta (jejich motor má konstantní otáčky a vydává zvuk určité výšky). Když se k vám přibližují, slyšíte vyšší tón (vyšší frekvenci). Jakmile vás minou a začnou se vzdalovat, slyšíte nižší tón (nižší frekvenci). Čím je vyšší rychlost přibližování nebo vzdalování, tím je Dopplerův efekt výraznější. Seznámit se s ním můžete i v následujícím videu z Velké ceny Kanady F1.

Dopplerův jev v praxi

Prozkoumáme nyní podrobněji Dopplerův jev pro šíření zvuku ve vzduchu. Předpokládejme, že zdroj zvuku Z kmitá s frekvencí f_Z a pohybuje se vůči okolnímu vzduchu rychlostí v směrem k přijímači. Přijímač P nechť je v klidu vůči vzduchu. Rychlost šíření zvuku ve vzduchu označíme písmenem \(c\). Situace je znázorněna na obrázku 22.37. Jakou frekvenci zvuku \(f_\mathrm{P}\) zaregistruje přijímač?

Pro přibližování zdroje k přijímači platí

Pro vzdalování zdroje od přijímače platí

Poznámka na okraj: Odvození vztahu mezi frekvencemi zdroje a přijímače

Za dobu, kdy zdroj kmitne jedenkrát (perioda \(T_\mathrm{Z}\)), urazí zvukové vlnění vzdálenost \(\lambda_\mathrm{Z}=cT_\mathrm{Z}\) a zdroj samotný se přiblíží k přijímači o vzdálenost \(s_\mathrm{Z}=vT_\mathrm{Z}\). Vlnová délka zaznamenaná přijímačem je podle obrázku 22.38 \(\lambda_\mathrm{P}=\lambda_\mathrm{Z}-s_\mathrm{Z}\), takže po dosazení získáme

\[ \lambda_\mathrm{P} = cT_\mathrm{Z} - vT_\mathrm{Z} = (c-v)T_\mathrm{Z} = \frac{c-v}{f_\mathrm{Z}}\;. \]

Vlnovou délku zaznamenanou přijímačem můžeme vyjádřit také jako \(\lambda_\mathrm{P}=c/f_\mathrm{P}\). Porovnáním předchozích vztahů dostáváme souvislost mezi frekvencemi

\[ \frac{c}{f_\mathrm{P}} = \frac{c-v}{f_\mathrm{Z}} \quad\hbox{neboli}\quad f_\mathrm{P} = \frac c{c-v} f_\mathrm{Z}\;. \]

Příklad 2

Lokomotiva projíždí pod mostem rychlostí 90 km/h a píšťalou vydává zvuk o frekvenci 1 000 Hz. Jakou frekvenci uslyší pozorovatel na mostě?

Řešení:

Rychlost zdroje zvuku vůči pozorovateli je \(v=90\ \mathrm{km/h}=25\ \mathrm{m/s}\).

Frekvence zdroje zvuku je \(f_\mathrm{Z}=1000\ \mathrm{Hz}\).

Nemáme přesnou informaci o teplotě vzduchu, ale podle fotografie lokomotivy a zejména podle vegetace v pozadí snímku můžeme usoudit, že teplota vzduchu nebude příliš vzdálená od 15 °C, čemuž odpovídá rychlost zvuku přibližně \(c=340\ \mathrm{m/s}\).

Během přibližování vlaku uslyší pozorovatel tón o frekvenci

\[ f_{\mathrm{P}1} = \frac{340}{340-25}\cdot1000\ \mathrm{Hz} \approx 1080\ \mathrm{Hz}\;, \]

během vzdalování vlaku pak tón o frekvenci

\[ f_{\mathrm{P}2} = \frac{340}{340+25}\cdot1000\ \mathrm{Hz} \approx 932\ \mathrm{Hz}\;. \]

Poznamenejme, že tato změna frekvence je dobře slyšitelná – jde o více jak jeden celý tón.

Ohyb vlnění

Ohyb vlnění, nazývaný též difrakce, spočívá v deformaci vlnoploch překážkami. Díky ohybu mohou vlny částečně proniknout i za překážku, do oblastí geometrického stínu. Platí, že čím je velikost překážky bližší vlnové délce, tím je ohyb výraznější. Difrakce se uplatňuje jak u mechanických, tak u elektromagnetických vln – viz kapitola Vlnová optika.

22.40 – Difrakce rovinných vln, přicházejících z otevřeného moře, na malém otvoru v hrázi vlnolamu. Původně rovinná vlna se mění na kulovou. Vlnění se šíří i do míst geometrického stínu překážky.
Zdroj

Interference vlnění

Snad nejzajímavějším a nejtypičtějším projevem vlnové povahy je interference. Interferencí se rozumí skládání vlnění z více zdrojů v určité oblasti prostoru. Matematicky je to pouhé sčítání okamžitých výchylek vln, které dospěly do vybraného bodu.

Dvě vlny, které se „potkají“ v určitém místě, se mohou interferenčně zesilovat, takže prostředí v tomto bodě bude kmitat s velkou amplitudou. Ale mohou se také interferenčně zeslabovat, takže prostředí v tomto bodě nekmitá vůbec, přestože do tohoto místa směřují obě vlny. Sčítání dvou sinusových vln stejné frekvence si můžete vyzkoušet v animaci – prozkoumejte, jaký vliv na výslednou vlnu má amplituda a počáteční fáze jednotlivých vln.

Interferovat mohou pochopitelně pouze vlny stejné povahy (zvuková se zvukovou, elektromagnetická s elektromagnetickou atp.). Jak uvidíme v kapitole 24, interference má obrovský význam v optice a moderní fyzice. Pokud jde o zvuk, neméně podstatné interferenční jevy vznikají v hudebních nástrojích. Na tomto místě se pokusíme o základní pochopení problematiky interference.

Uvažujme dva zdroje Z₁ a Z₂, které kmitají se stejnou frekvencí a zcela synchronizovaně (ve fázi). Vytvořené vlny se prolínají v určité oblasti prostoru – viz obrázek 22.42. Bod P ležící v tomto interferenčním poli se nachází ve vzdálenosti \(s_1\) od zdroje Z₁ a ve vzdálenosti \(s_2\) od zdroje Z₂. V bodě P nastává právě jedna z následujících možností:

1. Vlny do bodu P dospěly se stejnou fází, jejich amplitudy se sčítají, nastává konstruktivní interference. Prostředí v bodě P kmitá s maximální amplitudou. Aby obě vlny měly v bodě P stejnou fázi, musí být rozdíl mezi uraženými dráhami celočíselným násobkem vlnové délky. Podmínka konstruktivní interference se zapisuje matematicky jako \(|s_1-s_2|=k\lambda\), kde \(k=0,1,2,3,\dots\)
2. Vlny do bodu P dospěly s opačnou fází, jejich amplitudy se odečítají, nastává destruktivní interference. Prostředí v bodě P kmitá s minimální amplitudou. Aby obě vlny měly v bodě P opačnou fázi, musí být rozdíl mezi uraženými dráhami poločíselným násobkem vlnové délky. Podmínka destruktivní interference se zapisuje matematicky jako \(|s_1-s_2|=\lambda/2+k\lambda\), kde \(k=0,1,2,3,\dots\)
3. Vlny do bodu P dospějí s jiným fázovým posuvem než v předchozích případech. Vlny se opět skládají a amplituda kmitání prostředí v bodě P není ani maximální, ani minimální – jedná se o přechodový stav mezi první a druhou možností.

Interference má nepřeberné množství aplikací, my si zde ukažme jednu zajímavou s mechanickými vlnami. Ke zkvalitnění poslechového vjemu využívají bezdrátová sluchátka technologie ANC (Active Noise Control, aktivní potlačení hluku). Princip založený na destruktivní interferenci byl patentován před více jak 90 lety. Sluchátka jsou opatřena miniaturním mikrofonem, který snímá rušivé zvuky přicházející z okolí. Do reproduktoru (vedle přehrávané skladby) pouští zvuky o stejné amplitudě a frekvenci, ale s opačnou fází, takže ruchy přicházející z okolí destruktivně interferují s ruchy generovanými reproduktorem a tím se dosahuje nerušeného poslechu přehrávané skladby. U moderních sluchátek je možno úroveň potlačení hluku nastavovat, aby posluchač částečně vnímal případná nebezpečí např. v městském provozu.

Poměrně častým a pozoruhodným příkladem interference je skládání dvou postupných vln, které postupují po přímce proti sobě. Výsledkem je zvláštní druh vlnění, kterému říkáme stojaté vlnění. Nejčastěji se s ním setkáme u prostředí, která jsou prostorově omezená (tyč, struna, deska) – v tomto případě vlna přímá interferuje s vlnou odraženou na okraji tělesa. Situaci pro strunu a vzduchový sloupec uvnitř píšťaly podrobněji rozebereme v oddílu věnovaném hudebním nástrojům.

Poznámka na okraj: Odvození rovnice stojaté vlny

Prozkoumáme podrobněji interferenci dvou protichůdných vln o stejné frekvenci a amplitudě. Vlna A nechť se šíří v kladném směru osy \(x\). Její rovnice je

\[ y_A = y_\mathrm{m}\sin\left[2\pi\left(\frac tT-\frac x{\lambda}\right)\right]\;. \]

Vlna B nechť postupuje v opačném směru, v rovnici se to projeví změnou znaménka

\[ y_B = y_\mathrm{m}\sin\left[2\pi\left(\frac tT+\frac x{\lambda}\right)\right]\;. \]

Rovnici popisující kmitání prostředí v bodě o souřadnici \(x\), kde se vlny překrývají, získáme prostým součtem výchylek:

\[\begin{aligned} y=y_A+y_B &= y_\mathrm{m}\sin\left[2\pi\left(\frac tT-\frac x{\lambda}\right)\right] + y_\mathrm{m}\sin\left[2\pi\left(\frac tT+\frac x{\lambda}\right)\right]\\ &= y_\mathrm{m}\left\{\sin\left[2\pi\left(\frac tT-\frac x{\lambda}\right)\right] + \sin\left[2\pi\left(\frac tT+\frac x{\lambda}\right)\right]\right\}\\ \end{aligned}\]

Ve složené závorce sčítáme siny dvou různých argumentů, pro které platí trigonometrický vzorec

\[ \sin a + \sin b = 2\sin\left(\frac{a+b}2\right)\cos\left(\frac{a-b}2\right)\;. \]

Po dosazení a úpravě

\[ y = 2y_\mathrm{m}\sin\left[\frac{\displaystyle2\pi\left(\frac tT-\frac x\lambda\right)+2\pi\left(\frac tT+\frac x\lambda\right)}2\right] \cos\left[\frac{\displaystyle2\pi\left(\frac tT-\frac x\lambda\right)-2\pi\left(\frac tT+\frac x\lambda\right)}2\right] = \] \[ = 2y_\mathrm{m}\sin\left(\frac{2\pi t}T\right)\cos\left(\frac{2\pi x}\lambda\right) \]

získáváme rovnici stojaté vlny

\[ y = \left[2y_\mathrm{m}\cos\left(\frac{2\pi t}T\right)\right]\sin\left(\frac{2\pi x}\lambda\right) \]

Všimněte si, že stojatá vlna má stejnou periodu (a frekvenci) jako interferující vlny. Členy v hranaté závorce nezávisí na čase, a představují tedy amplitudu kmitání prostředí v bodě o souřadnici \(x\).

Pozoruhodné je, že stojatá vlna nepostupuje v prostoru. V prostředí existují místa, která kmitají s maximální amplitudou, nazývaná kmitny. V našem výpočtu to jsou body, pro něž je kosinus maximální (buď 1 nebo −1), čili \(x=k\lambda/2\), kde \(k\) je celé číslo. Existují zde rovněž místa, která nekmitají vůbec, přestože se jimi trvale šíří obě protichůdné vlny. Tato místa se nazývají uzly stojatého vlnění. V našem výpočtu jsou to body, pro něž je kosinus roven nule, tedy \(x=\lambda/4+k\lambda/2\), kde \(k\) je opět celé číslo. Vzdálenost dvou sousedních kmiten (a též vzdálenost dvou sousedních uzlů) je rovna polovině vlnové délky interferujících vln.

Poznámka na okraj: Sčítání vln o různých frekvencích

Skládání dvou vln o různých frekvencích si můžete prohlédnout v animaci.

Fyzikálně zajímavý výsledek dostaneme, když frekvence těchto vln – označíme je \(f_1\) a \(f_2\) – jsou blízké. Jev je dobře postřehnutelný u zvukových vln a je znám pod pojmem rázy. Výsledné vlnění má frekvenci rovnou aritmetickému průměru frekvencí složek \((f_1+f_2)/2\) a amplituda slyšitelného zvuku pulzuje s frekvencí danou rozdílem frekvencí \(|f_1-f_2|\).

Zvuk

Zvuk je mechanické vlnění, které vnímáme sluchem. V této části se podíváme na vlastnosti zvuku, jimiž se liší od ostatních mechanických vln.

Zvuk vzniká kmitáním těles. Prohlédnout si to můžete v úvodním videu k této kapitole. Podle toho, zda je toto kmitání (a jím vyvolaná vlna) pravidelné či nikoli, rozlišujeme tóny a hluk (šum).

• Tón vzniká pravidelným kmitáním zdroje. Jelikož se kmitání zdroje periodicky opakuje, lze u něj i u odpovídající zvukové vlny určit periodu a frekvenci. U tónu lze určit výšku.
• Hluk vzniká nepravidelným kmitáním zdroje. Jelikož se kmitání neopakuje, perioda ani frekvence hluku neexistují. U hluku nelze určit výšku.

Porovnání tónu a hluku

Vlastnosti tónů

U každého tónu lze určit následující vlastnosti:

• výška,
• délka,
• hlasitost,
• barva.

Hudebníci dokáží tyto vlastnosti zaznamenat do notového zápisu a pak zpětně interpretovat. Jejich fyzikální podstatu nyní rozebereme podrobněji.

Výška tónu

Výška tónu je dána frekvencí odpovídající zvukové vlny. Platí jednoduchá souvislost: čím vyšší je frekvence, tím je tón vyšší.

Lidské ucho je citlivé na frekvence v intervalu přibližně od 20 Hz do 20 kHz, přičemž horní hranice je značně individuální a s věkem klesá (vyzkoušejte to pomocí generátoru signálů v mobilu). Zvuk o frekvencích nižších než 20 Hz se nazývá infrazvuk, zvuk o frekvencích vyšších než 20 kHz je ultrazvuk. Na rozdíl od psů, netopýrů, delfínů a některých dalších zvířat lidé ultrazvuk neslyší. Ultrazvuk se využívá v lékařství k diagnostice (sonografické vyšetření) a v technice (čištění povrchů, defektoskopie).

Hudebníci zapisují výšku tónu pomocí not – přesněji řečeno pomocí polohy hlavičky noty v notové osnově opatřené klíčem.

Význačné postavení má tón a¹, tzv. komorní a o frekvenci 440 Hz. Podle něj se totiž ladí klavíry, smyčcové i symfonické orchestry. Rozdělení klávesnice do oktáv také není náhodné. Dva tóny vzdálené o jednu oktávu mají frekvence v poměru 2 : 1. Takže například tón a² má frekvenci 880 Hz, tón a³ frekvenci 1760 Hz a tón A ve velké oktávě frekvenci 110 Hz. O hudebních intervalech a temperovaném ladění více v oddíle Hudební nástroje.

Interval frekvencí, které člověk dokáže zazpívat, je mnohem užší než interval slyšitelný, u amatérských zpěváků obvykle jen dvě oktávy. Výška hlasu dospělého člověka je ovlivněna růstem hlasivek v pubertě. Ženské hlasy (soprán, mezzosoprán, alt) jsou přirozeně vyšší než mužské (tenor, baryton, bas).

Porovnání výšky vybraných hudebních nástrojů s lidským hlasem najdete na wikipedii.

Poznámka na okraj: Nejvyšší zpívaný tón

Tón c³ není pro lidský hlas nepřekonatelnou mezí. Mnoho lidí dokáže zakvičet pořádně vysoko. Ale aby to byl tón, který má přesně danou výšku, jež patří do „písničky“, to vyžaduje spoustu tréninku. Jednu takovou výzvu nachystal sopranistkám Wolfgang Amadeus Mozart v opeře Kouzelná flétna. Ve slavné árii Královny noci zazní v obrovské rychlosti tón f³ o frekvenci bezmála 1 400 Hz. Tento tón leží na hranici lidských možností a jeho dosažení je svého druhu sportovní výkon (pomineme-li uměleckou složku). Mozart byl nejen geniální skladatel, ale své „řemeslo“ též dokonale ovládal. Proto zpěvačce nejdříve poskytne prostor, aby se rozezpívala, a druhou sloku ji nechá zazpívat v paralelní mollové tónině (o dva tóny níže), takže „kritické místo“ se napodruhé téměř vždy povede dokonale. Ve videu níže zpívá Diana Damrau árii Královny noci v opeře Kouzelná flétna Wolfganga Amadea Mozarta.

Délka tónu

Délka tónu je doba, po kterou tón zní. Fyzikálně tedy odpovídá času v sekundách (délce vlnového klubka). Hudebníci ji udávají v dobách. Kolik sekund odpovídá jedné době, naznačí autor slovně na začátku skladby. Například „allegro“ znamená přibližně 132 dob za minutu, „largo“ značí 46 dob za minutu… Tato souvislost není matematicky přesná a dává prostor pro mírně odlišné pojetí interpretace.

Poznámka na okraj: Nejdelší tón

U dechových nástrojů (nebo zpěvu) trvá tón tak dlouho, dokud hudebníkovi nedojde dech. Záleží tedy na nástroji, na který se hraje, na kapacitě plic a taky hlasitosti tónu. U klavíru nebo kytary po počátečním impulzu hlasitost tónu přirozeně klesá k nule, obvykle se tón nedrží déle než osm dob. Naopak u varhan, kde vzduch do píšťal fouká čerpadlo, může znít tón opravdu hodně dlouho. Není proto divu, že nejdelší skladba na světě (někdo ji chápe jen jako recesi a za umění ji nepovažuje), pojmenovaná „As slow as possible“, je určena právě pro varhany. Po úvodní pomlce, která trvala rok a půl, zněl první akord úctyhodných 518 dní a celé „dílo“ se bude hrát dohromady 639 let.

Hlasitost tónu

Zatímco výšku a délku tónu vnímají všichni lidé přibližně stejně, vjem hlasitosti je velice subjektivní. Někdo slyší dopadnout špendlík, jiný neslyší ani tikot hodin. Pro někoho je hlasitá hudba příjemná a vzbuzuje v něm pocit uvolnění, u jiného vyvolávají tytéž hlasité zvuky napětí až fyzickou bolest.

Fyzikálně je hlasitost dána amplitudou kmitání prostředí, kudy se šíří zvuková vlna: větší amplituda znamená hlasitější zvuk. Protože se ovšem amplituda zvukového vlnění nesnadno měří, používají se k objektivnímu porovnávání hlasitosti veličiny intenzita zvuku \(I\) a hladina intenzity zvuku \(L\).

Intenzita zvuku \(I\) je definována jako podíl výkonu \(P\) přenášeného zvukovou vlnou a plochy \(S\), na niž dopadá zvuková vlna:

Intenzita zvuku tedy číselně vyjadřuje, kolik energie přinesou zvukové vlny za sekundu na plochu 1 m² (kolmou ke směru šíření). Jednotkou intenzity zvuku je watt na metr čtverečný (W/m²). Zdravý sluch dokáže při frekvenci 1 000 Hz zaregistrovat nejmenší intenzitu \(I_0=10^{-12}\ \mathrm{W/m}^2\). Této hodnotě se říká práh slyšení. Při intenzitách kolem 10¹ W/m² je zvuk natolik hlasitý, že sluchový vjem přechází ve vjem bolesti. Proto se této hodnotě říká práh bolesti.

Příklad 1

Předpokládejme, že reproduktor o zvukovém výkonu \(P_1=20\ \mathrm{W}\) vysílá zvukové vlny rovnoměrně do volného poloprostoru. Určete intenzitu zvuku \(I_1\) ve vzdálenosti \(r_1=50\ \mathrm{m}\) od reproduktoru a výkon \(P_2\), jaký v této vzdálenosti dopadá na ušní bubínek o ploše \(S_2=55\ \mathrm{mm}^2\).

Řešení:

Situace je znázorněna na obrázku 22.55, \(S_1\) zde značí polovinu povrchu koule. Intenzita zvuku \(I_1\) ve vzdálenosti \(r_1\) je podle definice

\[ I_1 = \frac{\hbox{výkon}}{\hbox{plocha}} = \frac{P_0}{S_1} = \frac{P_0}{2\pi r_1^2} = \frac{20\ \mathrm{W}}{15{,}7\cdot10^{-4}\ \mathrm{m}^2} = 1{,}27\cdot10^{-3}\ \mathrm{W/m}^2\;, \]

což je dobře slyšitelný zvuk.

Na bubínek dopadá výkon

\[ P_2 = I_1\cdot S_2 = 1{,}27\ \mathrm{W/m}^2\cdot10^{-3} \cdot55\cdot10^{-6}\ \mathrm{m}^2 = 7{,}0\cdot10^{-8}\ \mathrm{W}\;. \]

Intenzita zvuku je fyzikálně dobře pochopitelná veličina, ale bohužel neodpovídá tomu, jak hlasitost vnímá náš sluch. Když se totiž zvýší intenzita zvuku \(I\) na desetinásobek, nemáme pocit, že je zvuk desetkrát hlasitější. Spíše se ukazuje, že ucho se adaptuje podle aktuální hlasitosti. Ve zvýšení intenzity např. z 10⁻⁵ W/m² na 10⁻⁴ W/m² cítí stejný „krok“ jako ve zvýšení z 10⁻⁴ W/m² na 10⁻³ W/m² – řečeno prostě, ucho vnímá hlasitost logaritmicky. Proto je přirozené vyjadřovat hlasitost v logaritmické škále.

Hladina intenzity zvuku \(L\), vyjádřená v decibelech dB, je definována vztahem

kde log je logaritmus o základu 10, \(I\) je intenzita zvuku v daném místě a \(I_0=10^{-12}\ \mathrm{W/m}^2\), což je dohodou stanovená referenční hodnota (odpovídající prahu slyšení při 1 000 Hz).

Při dlouhodobém poslechu (přestože nás nic nebolí) hrozí nebezpečí poškození sluchu pro hlasitosti vyšší jak 85 dB. Od hlasitosti vyšší jak 100 dB hrozí nebezpečí poškození sluchu v řádu minut.

Příklad 2

Jeden zpěvák vyprodukuje v hledišti zvuk o hladině intenzity 65 dB.

1. Jaká je odpovídající intenzita ve W/m²?
2. Kolik decibelů dokáže vytvořit padesátičlenný pěvecký sbor? Předpokládejte, že všichni zpěváci zpívají stejně hlasitě a vzájemně se netlumí.

Řešení:

a) Nejelegantnějším postupem je vyjádřit neznámou \(I\) z rovnice \(L=10\log(I/I_0)\) a číselné hodnoty dosadit až v posledním kroku výpočtu. Pokud byste váhali, jak na to, nechte se inspirovat následujícím řešením s dosazenými číselnými hodnotami.

Podle zadání \(L_1=65\ \mathrm{dB}\), konstanta \(I_0=10^{-12}\ \mathrm{W/m}^2\) má stejnou hodnotu vždy, takže dosazením do definičního vztahu \(L_1=10\log(I_1/I_0)\) získáme rovnici pro neznámou intenzitu zvuku \(I_1\) odpovídající jednomu zpěvákovi

\[ 65=10\log\frac{I_1}{10^{-12}} \quad\hbox{neboli}\quad 6{,}5=\log\frac{I_1}{10^{-12}} \]

Neznámá \(I_1\) se nachází v argumentu funkce logaritmus, proto využijeme definici logaritmu a rovnici „odlogaritmujeme“

\[ 10^{6{,}5} = \frac{I_1}{10^{-12}}\;, \]

takže

\[ I_1 = 10^{6{,}5}\cdot10^{-12} = 10^{6{,}5-12} = 10^{-5{,}5} = 3{,}16\cdot10^{-6}\ \mathrm{W/m}^2\;. \]

Intenzita zvuku vyvolaná jedním zpěvákem je \(3{,}16\cdot10^{-6}\ \mathrm{W/m}^2\).

b) Za předpokladu, že všichni zpěváci zpívají stejně hlasitě a vzájemně se netlumí, bude intenzita zvuku od padesáti zpěváků \(I_{50}=50I_1=1{,}58\cdot10^{-4}\ \mathrm{W/m}^2\). Tuto hodnotu přepočítáme na decibely:

\[ L_{50} = 10\log\frac{I_{50}}{I_0} = 10\log\frac{1{,}58\cdot10^{-4}}{10^{-12}} = 82\ \mathrm{dB}\;. \]

Padesát zpěváků vyprodukuje v hledišti zvuk o hladině intenzity 82 dB.

Kontrolní otázka

Zvýší-li se hladina intenzity zvuku o 10 dB,

zvýší se intenzita na desetinásobek,
zvýší se intenzita o 10 W/m²,
zvýší se intenzita o 1 W/m²,
nelze rozhodnout, záleží na počáteční hladině intenzity.

Odeslat  

Kontrolní otázka

Zvýší-li se hladina intenzity zvuku na dvojnásobek,

zvýší se intenzita na dvacetinásobek,
zvýší se intenzita na dvojnásobek,
zvýší se intenzita o 20 W/m²,
zvýší se intenzita o 2 W/m²,
nelze rozhodnout, záleží na počáteční hodnotě hladiny intenzity.

Odeslat  

Barva tónu

Na saxofon a housle mohou dva hudebníci zahrát tón stejné výšky stejně hlasitě, přesto i neškolený posluchač pozná, že vydávané zvuky nejsou stejné. Liší se totiž barvou – podíváme se nyní, v čem barva tónů fyzikálně spočívá.

Postupná zvuková vlna, která má sinusový průběh, představuje tak zvaný čistý tón. Je to právě ta nejjednodušší vlna, jejíž rovnici

jsme odvodili na konci oddílu Vlnění. Je to vlna o jediné, přesně dané frekvenci \(f=1/T\). Čistý tón můžeme vytvořit nejjednodušeji, když připojíme střídavé napětí sinusového průběhu k reproduktoru. Je to tón, který slyšíte v klasickém telefonním sluchátku, a také tón, který vydává klasická kovová ladička. K čistému tónu má blízko též zvuk vydávaný flétnou.

Čistý tón

Barevný tón vzniká složením zvukových vln sinusového průběhu o frekvencích \(f\), \(2f\), \(3f\), \(4f\), … Frekvenci \(f\) (a jí odpovídající vlně) se říká základní frekvence (základní složka), frekvencím \(2f\), \(3f\), \(4f\), … (a jim odpovídajícím vlnám) se říká vyšší harmonické frekvence (vyšší harmonické složky). Podle základní frekvence \(f\) určuje lidské ucho výšku tónu. Barva tónu je dána zastoupením vyšších harmonických frekvencí ve výsledném tónu. Jinými slovy řečeno, zvuk jednotlivých hudebních nástrojů se liší tím, kolik a které vyšší harmonické frekvence tyto nástroje „přimíchávají“ k základnímu tónu. Proč jsou to právě násobky základní frekvence, vysvětlíme v následujícím oddíle Hudební nástroje.

Skládání většího počtu tónů si můžete vyzkoušet v animaci: pohybem červenými čtverečky měňte amplitudu příslušných vyšších frekvencí a poslouchejte, jak se mění barva tónu.

Podobně jako jste v předchozí animaci skládali barevný zvuk z čistých tónů, lze naopak barevný tón matematicky rozložit na součet čistých tónů. Graf vyjadřující zastoupení jednotlivých frekvencí v daném zvuku se nazývá spektrum zvuku. Rozklad můžeme provést automaticky pomocí aplikací na Fourierovou analýzu signálu (například programem Soundard Scope, který si vyzkoušíte v praktiku).

V animaci https://phyanim.sciences.univ-nantes.fr/Ondes/son/analyseur.php můžete porovnat barvu a odpovídající spektrum několika hudebních nástrojů.

Poznámka na okraj: Hudební akordy

Akord je souzvuk několika (barevných) tónů. Je to tedy směs vln o frekvencích \(f_1\), \(2f_1\), \(3f_1\), \(4f_1\), … (první tón), \(f_2\), \(2f_2\), \(3f_2\), \(4f_2\),  (druhý tón), \(f_3\), \(2f_3\), \(3f_3\), \(4f_3\),  (třetí tón) atd., přičemž \(f_1\), \(f_2\) a \(f_3\) mohou být libovolné. Aby se nám akord jevil jako libozvučný, musí být základní frekvence \(f_1\), \(f_2\) a \(f_3\) v poměru malých celých čísel.

Zdroje a detektory zvuku

Reproduktor převádí kmitání elektrického napětí na mechanické kmitání o stejné frekvenci.

Na svorky reproduktoru přivedeme střídavé napětí. Cívkou začne protékat střídavý proud, a tím pádem bude vytvářet střídavé magnetické pole. Poněvadž se poloha severního a jižního magnetického pólu cívky střídá, je střídavě přitahována a odpuzována magnetickým polem permanentního magnetu, což způsobí její kmitavý pohyb. Cívka je spojena s membránou reproduktoru, která se tímto mechanismem dává do pohybu a rozkmitává okolní molekuly vzduchu. Molekuly vzduchu si kmitáním předávají energii a do prostoru se šíří zvuková vlna.

Kromě popsaného nejběžnějšího reproduktoru založeného na elektrodynamickém principu existují i reproduktory elektrostatické (používané ve sluchátkách) nebo piezoelektrické (jsou levné a používají se pro vyšší frekvence).

Mikrofon převádí mechanické kmitání na kmitání elektrického napětí o stejné frekvenci. Jde vlastně o obrácený princip reproduktoru. Zvukové vlny dopadají na membránu a rozkmitávají ji. Membrána je spojena s cívkou, která se střídavě pohybuje dovnitř a ven z magnetického pole vytvořeného permanentním magnetem. Magnetické pole uvnitř cívky se tedy mění a elektromagnetickou indukcí na jejích svorkách vzniká střídavé napětí.

Kromě popsaného dynamického membránového mikrofonu se používají i mikrofony kondenzátorové (jeden najdete v galerii 18.33), elektretové a piezoelektrické.

Hlasivky jsou uloženy v hrtanu. Hlasové ústrojí je tvořeno dvojicí pružných vazů, jejichž napětí dokážeme ovládat vůlí přes hlasivkové svaly. Při dýchání jsou hlasivky povolené a vzniklou štěrbinou mezi nimi může vzduch volně procházet. Při mluvení nebo zpívání se hlasivky napnou tak, že k sobě těsně přiléhají. Proud vzduchu z plic spolu s napětím hlasivek způsobí velice rychlé pootevírání a zpětné zavírání štěrbiny mezi nimi, čímž vznikají tlakové vlny, které vnímáme jako zvuk. Frekvence otevírání a zavírání hlasivkové štěrbiny je zřejmě frekvencí generovaného zvuku.

Poznamenejme, že vzniklý zvuk rezonuje v tělních dutinách (ústní, nosní, lebeční, hrudní koš), čímž získává zabarvení charakteristické pro daného člověka.

Lidské ucho se podle podoby šíření zvukového signálu rozděluje na tři části – vnější, střední a vnitřní ucho.

Vnější ucho je tvořeno boltcem a zvukovodem. Na rozdíl od některých zvířat u člověka se postupně vytratila schopnost nasměrovat boltec na požadovaný zdroj zvuku a omezit tak příjem vln z jiných směrů. Zvuková vlna se šíří vzduchem vyplňujícím zvukovod a dopadá na bubínek. Bubínek je tenoučká membrána, která má tloušťku přibližně 0,1 mm a průměr do 1 cm a odděluje vnější a střední ucho.

Bubínek se tedy zvukovou vlnou rozkmitá a jeho kmitání se ve středním uchu přenáší pákovým mechanismem třemi nejmenšími kůstkami v těle – kladívkem, kovadlinkou a třmínkem – na oválné okénko labyrintu. Při tom dochází k zesílení tlaku (\(F=pS\)): bubínek má velkou plochu a tlak vzduchu na jeho vnější straně kmitá s malou amplitudou, naopak oválné okénko má malé rozměry a tlak kapaliny na jeho vnitřní straně kmitá s velkou amplitudou.

Ve vnitřním uchu se vibrace tlaku přenáší kapalinou (endolymfou) k membráně Cortiho orgánu obsahující vláskové buňky. Vláskové buňky jsou uspořádány tak, že každá oblast vnitřního ucha je citlivá na určitou frekvenci. Do mozku pak z ucha přichází signál o tom, které frekvence jsou ve zvuku zastoupeny a jak silně.

Kontrolní otázka

Na základě předchozího grafu 22.65 rozhodněte, pro kterou frekvenci zvuku je subjektivně vnímaná hlasitost ve fónech číselně rovna hladině intenzity zvuku v dB. Zapište celočíselnou hodnotu frekvence v kHz.

Odeslat

Fón (Ph) je jednotkou (subjektivně vnímané) hladiny hlasitosti. Hladina hlasitosti ve fónech je při frekvenci 1 kHz číselně rovna (objektivně měřitelné) hladině intenzity zvuku v dB. Pro jiné frekvence se hodnoty těchto veličin liší, neboť lidské ucho není na různé frekvence stejně citlivé.

Kontrolní otázka

Na základě předchozího grafu 22.65 rozhodněte, na kterou frekvenci zvuku je lidský sluch nejcitlivější? Zapište celočíselnou hodnotu frekvence v kHz.

Odeslat

Možná není náhodou, že frekvence dětského pláče se pohybuje v oblasti maximální citlivosti lidského sluchu.

Hudební nástroje

V této závěrečné části kapitoly věnované mechanickým vlnám se podrobněji podíváme na fyzikální princip strunných a dechových hudebních nástrojů. Pokusíme se podat vysvětlení, jak tón vzniká, jaké vlastnosti nástroje ovlivňují výšku vytvářeného tónu a jak vše souvisí s hudebními intervaly a laděním.

Strunné hudební nástroje

Vlnění na struně

Uvažujme strunu napjatou mezi dvěma pevnými konci – jejich vzdálenost budeme značit \(L\). Strunu bychom mohli chápat jako těleso kmitající s určitou frekvencí, ale k vysvětlení hlubších souvislostí je výhodné se na ni dívat jako na pružné prostředí, kterým se mohou šířit vlny. Přesněji řečeno, po počátečním impulzu (brnknutí) se strunou šíří příčná mechanická vlna až k okraji (pražec, kobylka), kde se odráží, a odražená vlna interferuje s původní přímou vlnou. Tím vzniká na struně stojaté vlnění s uzly a kmitnami. Je zřejmé, že pevné konce představují vždy uzly stojaté vlny. Obrázek 22.66 znázorňuje první čtyři vibrační módy struny (mód znamená způsob, jakým může dané těleso kmitat). Všimněte si, že kvůli upevnění struny na koncích nemůže vlnová délka stojaté vlny nabývat libovolných hodnot, ale je dána podmínkou \(\lambda_k=2L/k\), kde \(k=1,2,3,\dots\) je řád vibračního módu.

Vlnová délka souvisí s frekvencí vztahem \(\lambda=v/f\), takže frekvence vydávaná strunou kmitající v základním módu je \(f_1=v/\lambda_1=v/(2L)\). Při kmitání v \(k\)-tém módu bude tato struna vydávat zvuk o frekvenci

Zjišťujeme tedy velice zajímavou věc: struna může vydávat jen zvuk o frekvencích, které jsou celočíselným násobkem základní frekvence \(f_1\). Základní frekvence \(f_1\) je dána jednoznačně délkou struny \(L\) a rychlostí \(v\) šíření vlnění na struně. Frekvencím \(f_2=2f_1\), \(f_3=3f_1\), … se říká vyšší harmonické frekvence. Ve skutečnosti mohou vibrace v různých kmitových módech probíhat současně – prostě se skládají, takže reálná struna vydává zároveň více frekvencí daných předchozí podmínkou.

Podle základní frekvence \(f_1=v/(2L)\) identifikuje lidský sluch výšku tónu. Amplitudy vyšších harmonických frekvencí (módů) určují barvu tónu.

Výška tónu vydávaného strunou

Výška tónu je určena pomocí základní frekvence kmitání \(f_1=v/(2L)\).

V tomto vztahu představuje \(L\) aktivní délku struny – je to ta část struny, která kmitá. Čím je tato aktivní délka větší, tím hlubší tón zní. U některých nástrojů existuje pro každý tón samostatná struna (klavír), u jiných (kytara, housle) může hráč aktivní délku zkrátit stiskem struny v určitém místě a tím zvýšit vydávaný tón.

Rychlost šíření vlnění \(v\) na struně závisí na napínací síle \(F\) a lineární hustotě struny \(\mu\) (hmotnost na jednotku délky). Dá se odvodit, že \(v=\sqrt{F/\mu}\). Lineární hustota struny je dána při její výrobě a hráč ji nemůže ovlivnit. Struny pro vysoké tóny bývají tenké a lehké (malá hodnota \(\mu\)), struny pro hluboké tóny těžké a často spletené z více vláken.

Napínací sílu \(F\) může hráč ovlivnit utahováním nebo povolováním ladicího kolíku, na nějž je struna na jednom konci navinuta. Se zvětšováním napínací síly \(F\) se zvyšuje rychlost šíření vlnění na struně \(v\), což vede ke vzrůstu základní frekvence \(f_1\), tedy k vyššímu tónu.

Rozezvučení struny

Podle způsobu rozezvučení dělíme strunné nástroje na smyčcové, drnkací a úderové.

U drnkacích (kytara, banjo, ukulele, cembalo…) a úderových (klavír, cimbál) po počátečním impulzu vykonává struna volné tlumené kmity.

Fyzikálně zajímavější je hra pomocí smyčce. Vlákna smyčce se statickým třením zachytí o strunu a pohybem do strany ji vychylují. V okamžiku, kdy vratná síla struny (roste s výchylkou) převýší maximální sílu statického tření, začne struna klouzat zpět k rovnovážné poloze, tedy proti směru pohybu smyčce. V tomto případě jde o tření dynamické s nižším součinitelem smykového tření. Jakmile dojde k opětovnému zachycení, situace se opakuje. Jedná se tedy o příklad nuceného kmitání, v němž je smyčec budičem a struna rezonátorem s velmi ostrým rezonančním maximem.

Tělo nástroje jako rezonátor

Tenká kmitající struna má malý povrch a je v kontaktu s relativně malým objemem vzduchu. Samotná by tedy vydávala jen těžko slyšitelný zvuk, asi jako když brnknete na provázek upnutý mezi dva háčky. Proto musí být strunný hudební nástroj opatřen rezonanční deskou nebo skříní s velkým povrchem. Přes upevnění se kmity struny přenáší na tuto rezonanční desku, která rozkmitá velký objem vzduchu.

V tomto případě je struna budičem a rezonanční deska rezonátorem. Fyzikálně se jedná o rezonátor se silným tlumením, jehož rezonanční křivka má velmi široké maximum. Znamená to, že nízké i vysoké frekvence vydávané strunou jsou rezonátorem „zesilovány“ přibližně stejně.

Dechové hudební nástroje

Vznik vlnění v dechovém nástroji

Zvuk vzniká foukáním vzduchu do nástroje, který funguje jako rezonátor.

Dechové hudební nástroje se klasicky dělí na dřevěné (píšťaly, plátkové, …) a žesťové. U píšťal a fléten dopadá proud vzduchu hráče na ostrou hranu na okraji trubice, na hraně vzniká turbulentní proudění, jímž se rozechvěje sloupec vzduchu v nástroji. U klarinetu a hoboje (plátkové nástroje) zvukové vlny vytváří proud vzduchu, který rozkmitá plátek sevřený mezi rty. Kmitání plátku v proudu vzduchu vytváří tlakové vlny uvnitř ozvučné trubice. Podobné je to i v případě žesťových nástrojů. Hráč fouká vzduch mezi napjaté sevřené rty opřené o nátrubek. Mezi rty pravidelně vzniká štěrbina, kterou pokaždé projde malé množství vzduchu, vzniklé tlakové vlny rozechvívají vzduchový sloupec v nástroji.

Tělo samotného dechového nástroje je pouhá dutá trubice válcového nebo kuželovitého tvaru vyplněná vzduchem. Na jednom konci hráč svým dechem vzduch rozkmitává, trubicí se šíří podélné vlnění k druhému (otevřenému) konci, kde se odráží a skládá s vlnou přímou. Ve vzduchu uvnitř nástroje tak vzniká podélné stojaté vlnění. Toto stojaté vlnění má vždy uzel na uzavřeném konci a kmitnu na konci otevřeném – viz obrázek 22.71. Podobně jako u struny, délka dechového nástroje tedy určuje přípustné vlnové délky, potažmo frekvence, jež mohou v nástroji existovat. Jinými slovy, trubice funguje jako rezonátor s velmi ostrými rezonančními maximy. Ze všech možných frekvencí vydávaných např. vibrujícími rty se rozezní jen ty, které splňují podmínku danou délkou nástroje, všechny ostatní frekvence se utlumí.

V případě píšťaly (rezonátor s oběma konci otevřenými, viz obrázek 22.71 a) splňují přípustné vlnové délky stejnou podmínku jako na struně, totiž \(\lambda_k=2L/k\), kde \(L\) je délka trubice a \(k=1,2,3,\dots\) je řád vibračního módu. S využitím vztahu pro frekvenci \(f=v/\lambda\) můžeme snadno odvodit podobné závěry jako pro strunné nástroje:

• základní frekvence určující výšku tónu je dána vztahem \(f_1=v/(2L)\), kde \(v\) je rychlost šíření zvuku ve vzduchu uvnitř nástroje,
• v trubici nástroje existují i vlny s frekvencemi \(f_k=kf_1\), kde \(k=2,3,4,\dots\) (tzv. vyšší harmonické frekvence), jejichž zastoupení dává zvuku nástroje charakteristickou barvu.

Výška tónu dechového nástroje

Výšku tónu určuje délka rezonujícího vzduchového sloupce \(L\). Mohli bychom pro každý tón ve stupnici vyrobit trubici jiné délky (varhany, Panova flétna, skleněné varhany v motivační aktivitě), ale existují i jiná řešení. U dřevěných nástrojů (píšťaly a flétny, klarinet, hoboj, …) lze efektivní délku \(L\) ozvučné trubice zmenšovat odkrýváním dírek v nástroji – to vede ke zvýšení tónu. U žesťových nástrojů (trubka, lesní roh, tuba, …) se efektivní délka ozvučné trubice prodlužuje připojováním „odboček“ nebo vysouváním snižce, jak je tomu u trombonu. To vede ke snížení tónu.

Výška tónu závisí také na rychlosti šíření zvuku ve vzduchu uvnitř nástroje, a tím pádem na jeho teplotě: při zvýšení teploty vzduchu v nástroji vzroste i výška hraného tónu.

Dechové nástroje mají ještě jednu vymoženost, jak změnit výšku tónu – tak zvané přefukování. Při silnějším proudu vzduchu může hráč vytvořit v nástroji proudění s vyšší frekvencí, než je základní frekvence \(f_1\) ozvučné trubice. V tom případě se kmitání s frekvencí \(f_1\) nevybudí, a naopak se rozezní některá z vyšších harmonických frekvencí (a její násobky). Jedná se o zcela běžnou techniku hry. Hráčovo umění spočívá v přizpůsobení množství vzduchu a napětí rtů tak, aby se vytvořenými turbulencemi právě „strefil“ do správného vibračního módu rezonujícího vzduchového sloupce.

Posloupnost tónů, které lze na dechovém nástroji vytvořit pouhým přefukováním, se nazývá alikvotní tóny a je základem hudebních intervalů a čistého ladění.

Čisté a temperované ladění

Hudební intervaly

Hudební interval je vzdálenost mezi dvěma tóny na výškové škále. Lidský sluch vnímá jako libozvučné intervaly mezi tóny, jejichž frekvence jsou v poměru malých celých čísel – viz následující tabulka.

Tyto intervaly vznikají přirozeně mezi frekvencemi jednotlivých vibračních módů struny nebo vzduchového sloupce v píšťale. Definují tak čisté (přirozené) ladění.

Kontrolní otázka

Tón a¹ má frekvenci 440 Hz (komorní a). Jakou frekvenci má tón a² o oktávu vyšší? Napište číselnou hodnotu frekvence v hertzech Hz.

Odeslat

Kontrolní otázka

Tón a¹ má frekvenci 440 Hz (komorní a). Tón e¹ je o kvartu nižší než tón a¹. Jakou má frekvenci tón e¹? Napište číselnou hodnotu frekvence v hertzech Hz.

Odeslat

Poměr frekvencí odpovídající kvartě je 4 : 3. Tedy \(f_\mathrm{a^1}/f_\mathrm{e^1}=4/3\).

Kontrolní otázka

Tón e¹ má frekvenci 330 Hz. Jakou frekvenci bude mít tón e³, o dvě oktávy vyšší než e¹?

660 Hz,
990 Hz,
1 320 Hz.

Odeslat  

Jedna oktáva odpovídá zvýšení frekvence na dvojnásobek, čili e² má frekvenci \(2\cdot330\ \mathrm{Hz}=660\ \mathrm{Hz}\) a e³ má frekvenci \(2\cdot660\ \mathrm{Hz}=1\,320\ \mathrm{Hz}\).

Temperované ladění

Z přirozených intervalů bychom mohli sestavit stupnici a hrát v čistém ladění jako v období renesance. Skladba by zněla dokonale, pokud bychom trvale zůstávali v tónině, na kterou máme naladěný nástroj. Problém nevyhnutelně nastane, pokud skladba přejde do jiné tóniny. Například Bachovo Preludium č. 1 by znělo na klavíru v čistém ladění do C dur takto:

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/49/Prelude_1%2C_Just_intonation.ogg

Aby byly všechny tóniny rovnocenné a skladba zahraná od různých tónů zněla vždy stejně čistě, používá se v Evropě již od doby baroka temperované ladění. Interval oktávy (poměr frekvencí 2 : 1) se rozdělí na dvanáct stejně velkých půltónů. Jeden půltón tedy odpovídá poměru frekvencí \(^{12}\sqrt{2}:1=1{,}05946:1\). V tomto rovnoměrně temperovaném ladění například interval kvarty odpovídá pěti půltónům a poměr frekvencí není přesně \(4:3=1{,}\bar3:1\), nýbrž \((^{12}\sqrt{2})^5:1=1{,}3348:1\). Výsledek můžete sluchově posoudit na téže skladbě – Bachovo Preludium č. 1 zahrané na dobře temperovaný klavír:

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/eb/Prelude_1%2C_Equal_temperament.ogg

Příklad 1

Tón a¹ (komorní a) má frekvenci 440 Hz. Jakou frekvenci má v temperovaném ladění tón c²?

Řešení:

V obrázku 22.75 vidíme, že c² je od a¹ vzdáleno o jeden a půl tónu, tzn. o tři půltóny. Poměr jejich frekvencí je \((^{12}\sqrt{2})^3\), tedy frekvence tónu c² je \((^{12}\sqrt{2})^3\)-krát vyšší než frekvence tónu a¹.

Frekvence tónu c² je \((^{12}\sqrt{2})^3\cdot440\ \mathrm{Hz}=523\ \mathrm{Hz}\).