Světelné vlnění

V předchozí kapitole jsme se věnovali šíření světla z pohledu geometrické optiky. Základním předpokladem bylo přímočaré šíření světla. Dokázali jsme popsat mnoho optických jevů a využít jich ke konstrukci užitečných přístrojů a zařízení. Ne všechny optické jevy ale dokážeme popsat pomocí geometrické optiky. Mezi ty základní patří ohyb, interference a polarizace. A těm se právě budeme věnovat v této kapitole.

Kdybychom o světle měli podat co nejvíce informací co nejméně slovy, zformulovali bychom následující větu: „Světlo je vlnění.“ A vše, co pro vlnění platí obecně, platí také pro světlo (mechanické vlnění jsme studovali v kapitole 22).

Světlo, podobně jako zvuk, může mít různou vlnovou délku či frekvenci. Zatímco u zvuku vnímáme různé vlnové délky jako různé výšky tónu (viz kapitola 22), u světla různé vlnové délky odpovídají různým barvám. Zkusme se tedy nejprve podívat na to, jakým způsobem barvy vnímáme.

24.1 Rozklad světla

24.1.1 Barevné spektrum

Když na optický hranol pošleme úzký svazek světla bílé barvy, dojde k jeho rozložení na barvy duhy a my můžeme snadno pozorovat jeho spektrum. Tento jev je také příčinou vzniku duhy, kterou jste již mnohokrát pozorovali. Nazýváme ho disperze (rozklad) světla.

Experiment ukazuje, že bílé světlo je složeno z několika dílčích vlnění. Světlu, které se šíří ve vakuu rychlostí \(c\simeq3\cdot10^8\ \mathrm{m/s}\), můžeme přiřadit vlnovou délku \(\lambda\) a frekvenci \(f\). Barvám viditelného světla (viz obrázek Spektrum viditelného světla) můžeme přiřadit hodnoty vlnových délek v rozsahu 380 nm až 780 nm (pro frekvence 7,9 ⋅ 10¹⁴ Hz až 3,8 ⋅ 10¹⁴ Hz). Tyto veličiny jsou spojeny již známým vztahem \(\lambda=cT=c/f\). Největší vlnové délky vnímáme jako červenou barvu, nejmenší vlnové délky jako fialovou barvu.

Proč k rozkladu světla na barvy dochází? Když světlo prochází přes optickým hranolem, každá z jeho barev se láme pod jiným úhlem. Světlo určitých barev (kratší vlnové délky - např. modrá či fialová) se láme více. Může za to závislost indexu lomu na vlnové délce. Říkáme, že sklo je disperzní.

Tuto vlastnost mají i jiná průhledná prostředí, například voda. Proto také můžeme pozorovat vznik duhy na malých vodních kapkách (viz obrázek 24.14).

Skládání barev

Newton pomocí hranolů a čoček dokázal jednotlivé barvy opět složit a získat znovu bílé světlo. Skládání světla si můžeme ukázat, když například osvítíme bílou plochu třemi barvami – červenou, modrou a zelenou (viz obrázek). V místě, kde se setkají všechny tři barvy, získáme bílou barvu.

Takové skládání barev nazýváme aditivní skládání barev. Spočívá v tom, že k jedné barvě přidáme nějakou další, a výsledné světlo tak bude spektrálně bohatší. Využíváme ho v displejích televizních obrazovek, počítačů nebo mobilních telefonů. Jak se můžete přesvědčit na následujícím obrázku, obrazovka počítače se skládá z velkého množství malých jednobarevných pixelů (červená, zelená a modrá), které pro oko při vhodném nastavení vytvoří obrovské množství barev.

Protože tyto tři barvy dají při stejných intenzitách bílou barvu, nazýváme je základní barvy. Pokud smícháme pouze dvě ze základních barev, dostaneme barvu, která je doplňková ke třetí základní barvě. Například žlutá barva vznikne složením červené a zelené a tvoří doplňkovou barvu k modré.

Dalšími doplňkovými barvami jsou purpurová a azurová, které vznikají složením červené a modré, respektive složením zelené a modré. Tyto barvy jsou používány v náplních barevných tiskáren a běžně bývají doplněny ještě černou náplní.

Přímou aplikací fyzikálního principu aditivního skládání barev je vytváření barev na obrazovce počítače. Každá barva je na počítači v režimu True Color popsána 3 bajty neboli 24 bity. Můžeme tak zobrazit až 2²⁴ = 16 777 216 barev, což pro barevnou grafiku a fotografii docela dobře postačuje. Každá z barev je popsána 8 bity, může mít tedy 256 úrovní, a výslednou barvu tedy zapisujeme pomocí trojice čísel desítkové soustavy (0–255, 0–255, 0–255). Bílá má kód (255, 255, 255), což odpovídá tomu, že základní barvy jsou obsaženy v maximální možné intenzitě. Šedá je popsána pomocí (128, 128, 128). Jak bude vyjádřena barva černá?

V následující tabulce se můžete podívat i na míchání jiných barev nebo se můžete podívat na tento odkaz.

Kontrolní otázka

Jakou barvu označuje kód (75, 75, 75) na monitoru počítače?

tmavě šedou,
jasně červenou,
skoro bílou.

Odeslat  

Kontrolní otázka

Jak se bude měnit barva pixelu na obrazovce, jestliže v kódu (0, 0, 255) budeme snižovat poslední hodnotu?

bude se rozjasňovat,
nijak se měnit nebude, dokud nezměníme alespoň jednu nulovou hodnotu,
ztmavne, bude se blížit černé.

Odeslat  

Situace je jiná u subtraktivního skládání barev. Jeho princip je ten, že z kompletního bílého světla postupně odebíráme jeho barevné složky. Před zdroj bílého světla umístíme například žlutý filtr. Snadno si to můžeme znázornit na následující grafice. Žlutý filtr propouští červenou a zelenou barvu, blokuje svou doplňkovou barvu – modrou. Jestliže nyní umístíme světlu do cesty filtr azurový, který propouští pouze zelenou a modrou, červená zůstane zablokována a skrze druhý filtr projde pouze zelená, modrá již byla zablokována prvním filtrem. V subtraktivním skládání barev platí: žlutá + azurová = zelená. Složením dvou doplňkových barev získáme základní barvu.

Dokážete si nyní představit, jaká barva vznikne složením barev žluté, purpurové a azurové?

Se subtraktivním skládáním barev souvisí naše schopnost vidět barvy předmětů. Jde totiž o to, jaké barevné složky k nám dané předměty odrážejí. Abychom viděli předmět jako žlutý, musí odrážet zelenou a červenou barvu (ty se v odraženém světle složí na žlutou), popřípadě monochromatickou žlutou barvu. V obou případech jsou na sítnici oka excitovány čípky zaznamenávající zelenou a červenou barvu (čípky M a L) a mozek tento zrakový vjem vyhodnotí jako žlutou barvu. Oko vnímá poměrné zastoupení pouze tří základních barev, vnímání žluté barvy tedy odpovídá pouze excitaci zrakových buněk citlivých na zelenou a červenou barvu (viz motivační aktivita č. 3). Jestliže je tedy modrá barva předmětem pohlcována, předmět vnímáme jako žlutý.

Dnes se používá mnoho umělých látek, aby dodaly jídlu intenzivnější barvu. Dříve se potravinářská barviva získávala z rostlin a živočichů. Například zdrojem červeného karmínového barviva byl drobný hmyz, který žije na kaktusu.

Kontrolní otázka

Představte si, že na sobě máte červené tričko. Jakou barvu toto tričko odráží, když jste osvětlení bílým světlem?

červená,
zelená,
modrá,
bílá.

Odeslat  

Kontrolní otázka

Jaké barvy toto tričko naopak pohlcuje?

červená a modrá,
žlutá a zelená,
modrá a zelená,
bílá a červená.

Odeslat  

Je-li tričko osvětleno bílou barvou, která obsahuje všechny základní barvy, odráží červenou. Jenom tak můžeme vidět červenou. Tudíž musí pohlcovat všechny ostatní barvy – modrou a zelenou.

To, jakou barvu uvidíme, záleží také na světle, kterým předmět osvítíme. Představme si, že svítíme na červený předmět červeným světlem. Bude červená barva intenzivnější? Ano, veškeré světlo dopadající na předmět je červené, samotný červený předmět bude toto červené světlo odrážet, a proto bude předmět vypadat velmi světlý. Naopak modrý předmět se bude zdát skoro černý, protože červené světlo bude modrým barvivem pohlcováno a k pozorovateli se odrazí pouze málo světla, které osvětluje pozorovaný předmět. Ale o tom již bylo naše úvodní video v této kapitole.

Ohyb světelných vln

Ohyb – pozorování

Při studiu mechanických vlnění jsme si všimli, že se vlny ohýbají, když například prochází otvorem v překážce, jehož rozměry jsou srovnatelné s vlnovou délkou.

24.23 – Vlny na hladině vody se ohýbají. Původně rovinná vlna se mění na kruhovou. Vlnění se šíří i do míst geometrického stínu překážky, což bychom asi neočekávali.
Zdroj

Světlo se za podobných podmínek chová naprosto stejně. Již jsme se s tímto jevem seznámili v kapitole 2. při měření tloušťky lidského vlasu.

Laserový paprsek dopadající na tenký drát nebo úzkou štěrbinu se vlivem difrakce rozšíří, ohýbá se.

Ohyb světla

Ohyb na štěrbině – vlastnosti

Uvažujme nyní světelnou vlnu, která dopadá na úzký podlouhlý otvor – štěrbinu, jejíž šířku označíme \(d\). Vlna se ohýbá do stran, rozšiřuje se. Na stínítku ve vzdálenosti \(D\) od štěrbiny pozorujeme ohybový obrazec, v němž je výrazné centrální maximum šířky \(L\). Čím je štěrbina užší (\(d\) je menší), tím je ohyb výraznější (\(L\) je větší). Kvůli ohybu světla tak není experimentálně možné vytvořit libovolně úzký světelný paprsek.

Prohlédněte si grafy naměřené pro čtyři různě široké štěrbiny.

Výsledky měření lze také zpracovat do jednoduchého grafu, který ukazuje, že při ohybu na štěrbině je šířka centrálního maxima \(L\) nepřímo úměrná šířce štěrbiny \(d\) (matematicky zapsáno \(L\propto\lambda/d\)). Pokud bychom použili světlo o vyšší vlnové délce \(\lambda\), bude se šířka \(L\) opět zvětšovat.

Ze schématu experimentu (obrázek 24.26) můžeme vidět, že polovina centrálního maxima o velikosti \(L/2\) je vidět na vzdálenost \(D\) pod úhlem \(\theta\). Protože vzdálenost \(D\gg l\), úhel \(\theta\) je velmi malý, a můžeme tedy psát

(viz matematické dodatky). Vzhledem k úměře \(\theta\propto\lambda/d\) lze také psát \(L/2D=\lambda/d\). Jestliže tedy ohybový obrazec pozorujeme na stínítku ve vzdálenosti \(D\) od štěrbiny, pak pro šířku centrálního ohybového maxima nalezneme vztah \(L=2\lambda D/d\).

Příklad 1

Kdy vlastně můžeme ohyb na štěrbině pozorovat? Platí nějaká podmínka pro vlnovou délku světla a šířku štěrbiny?

Řešení:

Podívejme se na předchozí vztah podívat čistě matematicky. Uvažujme štěrbinu, jejíž šířka je celistvý násobek vlnové délky světla: \(d=k\lambda\). Vychýlení světelné vlny z jejího původního směru je tedy

\[ \theta = \frac{\lambda}d = \frac{\lambda}{k\lambda} = \frac1k\;. \]

Jestliže vezmeme štěrbinu, jejíž šířka je 100krát větší než vlnová délka světla (\(d=100\lambda\)), dostaneme úhel

\[ \theta = \frac1k = \frac1{100} = 10^{-2}\ \mathrm{rad} = 0{,}57^\circ\;. \]

Tento úhel způsobí na stínítku vzdáleném 3,0 m centrální maximum široké 3,0 cm. Ohyb tedy můžeme pozorovat.

V případě, že vezmeme štěrbinu užší (\(d=10\lambda\)), bude mít úhel \(\theta\) velikost 5,7°. Ohyb je tedy 10krát výraznější. Jestliže máme naopak štěrbinu o šířce \(d=1000\lambda\), bude mít úhel \(\theta\) velikost 0,06°, a ohyb tak nebude téměř pozorovatelný.

Vidíme tedy, že ohybové jevy pro světlo nejsou pozorovatelné, jestliže je rozměr štěrbiny o několik řádů větší než vlnová délka světla.

Poznámka na okraj: Rozlišovací limity optických přístrojů

Neméně zajímavý výsledek dostaneme při ohybu světla na kruhovém otvoru průměru \(d\). První minimum (tmavý kroužek) tentokrát najdeme pod úhlem \(\theta\) splňujícím podmínku \(\theta=1{,}22\lambda/d\) (pro malé úhly). Tato podmínka nám umožní podívat se blíže na rozlišení optických přístrojů.

Ohyb světla má rozhodující vliv na to, jakým způsobem vidíme svět. Kruhové čočky dalekohledů a mikroskopů, zrcadla dalekohledů, stejně tak i lidské oko působí jako clona o průměru \(\Phi\), skrze kterou prochází světlo. Clona světlo ohýbá stejně jako štěrbina nebo kruhový otvor (viz Galerie – Ohyb světla).

Obraz bodu tak není bodem, ale kruhovou skvrnou, kolem které jsou ještě soustředné prstence. Pozorujeme-li tedy dva body A a B, optický přístroj nám zobrazí dva body A′ a B′, které mají tvar difrakčních skvrn.

Obrazy A′ a B′dvou bodů jsou rozlišitelné, jestliže jejich vzdálenost \(x'=|A'B'|\) je větší než poloměr centrálních disků v ohybových skvrnách. Jinými slovy minimum ohybového obrazce jednoho bodu musí odpovídat maximu ohybového obrazce druhého bodu.

Pro úhel \(\theta\) tedy platí \(\theta>1{,}22\lambda/\Phi\), kde \(\Phi\) značí průměr objektivu přístroje.

Čím je průměr objektivu přístroje \(\Phi\) větší, tím menší detaily na obrazu dokážeme rozlišit. I to je jeden z důvodů, proč stavíme stále větší dalekohledy.

Příklad 2

Jaký nejmenší předmět dokážeme na povrchu Měsíce rozlišit dalekohledem, který má průměr objektivu 5 m? (Vzdálenost Země–Měsíc činí 384 000 km, jako vlnovou délku světla zvolíme přibližně střed viditelné oblasti, tedy 580 nm.)

Řešení:

Vyjdeme z podmínky pro úhel \(\theta\), pod kterým vidíme daný předmět na povrchu Měsíce (viz obrázek). Úhel \(\theta\) je velmi malý, platí tedy

\[ \frac xD = \theta = 1{,}22\frac{\lambda}{\Phi}\;. \]

Odtud pak vyjádříme vztah pro velikost detailu na povrchu Měsíce: \(x=D\cdot1{,}22\lambda/\Phi\). Číselným dosazením vypočítáme

\[ x = 384\cdot10^6\cdot1{,}22\cdot\frac{5{,}80\cdot10^{-7}}{5}\ \mathrm{m} = 54\ \mathrm{m}\;. \]

Jakmile ovšem dosáhneme úhlového rozlišení oka nebo čipu CCD, který zachytává světlo, zvětšovat průměr dalekohledu již nemá smysl. Technická konstrukce detektoru světla také omezuje rozlišovací schopnost přístroje.

Interference světelných vln

Interference na dvojštěrbině

Dalším důkazem vlnové povahy světla je jeho interference. Dobře ji popisuje slavný Youngův pokus s dvojštěrbinou (viz schéma). Přestože Thomas Young prováděl svůj experiment s bílým slunečním světlem (viz video), v našem výkladu budeme pro jednoduchost předpokládat pouze monochromatické světlo.

V tomto experimentu nechal Thomas Young dopadat světelné vlnění z jednoho úzkého zdroje na dvě totožné úzké štěrbiny, které byly od sebe ve vzdálenosti \(b\). Dnes bychom jako zdroj použili laser. Vlnění vycházející ze štěrbin se spolu překrývala a v místě, kde docházelo k překrytí, Young pozoroval jejich skládání. Na stínítku vzniklo množství světlých a tmavých světelných čar – interferenční obrazec.

Štěrbiny se chovají jako dva téměř bodové zdroje světla o téže frekvenci (a téže vlnové délce). Oba tyto zdroje osvětlují plochu stínítka, kde pozorujeme jejich skládání.

Pokud do určitého bodu na stínítku dopadnou tyto vlny ve fázi (obě vlny nabývají současně v určitý okamžik maxima a v jiný okamžik minima), složí se spolu konstruktivně a vytvoří vlnění o vyšší amplitudě (viz obrázek 24.34). V takovém bodě vznikne na stínítku světlý proužek.

Pokud do jiného bodu na stínítku dopadnou světelné vlny s opačnou fází (v daný okamžik má jedna vlna maximum a současně druhá vlna minimum), jejich složením vzniká vlnění s menší, nebo dokonce nulovou amplitudou. Pak hovoříme o destruktivní interferenci. V tomto případě pozorujeme na stínítku tmavý proužek. Přestože je daný bod osvětlen oběma zdroji, složením dvou světel může vzniknout tma. Jde o jasný důkaz vlnového charakteru světla.

Podívejme se na Youngův experiment, jehož uspořádání je znázorněno na obrázku 24.35.

Dráhový rozdíl \(\Delta l=\bigl||S_2M|-|S_1M|\bigr|\) vyjadřuje rozdíl mezi vzdálenostmi, které urazí vlny šířící se z bodu S₁ a S₂ a interferující v bodě M na stínítku. Poloha bodu M je dána vzdáleností \(x\) od středu stínítka.

Na vzdáleném stínítku vzniká interferenční obrazec (obrázek 24.36) s množstvím střídajících se světlých a tmavých proužků, to znamená střídajících se interferenčních maxim a minim. Tato minima, stejně jako maxima, jsou na stínítku pravidelně rozmístěna.

Uprostřed stínítka (bod O) najdeme světlý proužek – interferenční maximum. To je bod, který je stejně daleko od obou štěrbin a obě vlnění do něj dorazila se stejnou fází, neboť na své cestě urazila stejnou dráhu. Došlo ke konstruktivní interferenci, dráhový rozdíl je \(\Delta l=0\) (\(k=0\)). Nalezli jsme centrální maximum.

Posuneme-li se na stínítku o malý kousek stranou (bod M), vlnění z jedné štěrbiny muselo urazit o kousek delší dráhu. Je-li dráhový rozdíl \(\Delta l=\lambda/2\), vlnění jsou v opačné fázi a na stínítku se objeví první tmavý proužek – interferenční minimum. Posuneme-li se ještě o kousek dále, znovu se ocitneme v místě s interferenčním maximem. Tentokrát je však dráhový rozdíl mezi oběma vlnami roven \(\Delta l=1\lambda\). Vlnění jsou opět ve fázi, dostáváme první postranní maximum (\(k=1\) pak označuje řád tohoto maxima).

Podobně můžeme vysvětlit i vznik dalších postranních maxim a minim.

Kontrolní otázka

Jestliže je dráhový rozdíl mezi vlněními roven \(3\lambda/2\), vznikne na stínítku světlý, nebo tmavý bod?

světlý bod – interferenční maximum,
tmavý bod – interferenční minimum,
přechodový bod průměrné intenzity.

Odeslat  

Vztah pro interferenci na dvojštěrbině

Na stínítku tedy vidíme pravidelně se střídající minima a maxima, světlé a tmavé body nebo proužky. Pro jejich polohy platí následující vztah:

Tento vztah můžeme také vyjádřit pomocí \(xb/D=k\lambda\), kde jsme použili vztah \(\sin\theta\simeq\tan\theta=x/D\), který platí pro malé úhly \(\theta\), což je zde splněno.

Podívejme se, jak tento vztah matematicky odvodit. Budeme předpokládat, že světelné vlnění dopadá na dvě rovnoběžné štěrbiny, které jsou od sebe vzdáleny \(b\). (Poznamenejme, že tento vztah platí také pro interferenci na mřížce – viz dále v této kapitole –, neboť tvar interferenčního obrazce je zcela stejný jako v případě dvojštěrbiny, pouze získáme jasnější obraz, protože mřížkou prochází více světla.) Matematická podmínka pro konstruktivní interferenci na dvojštěrbině platí tedy naprosto stejně i pro mřížku se stejnou vzdáleností štěrbin.

Jestliže uvažujeme velmi vzdálené stínítko, na kterém vzniká interferenční obrazec, jsou skládající se vlny prakticky rovnoběžné. Jejich dráhový rozdíl pak můžeme vyjádřit velmi jednoduše z pravoúhlého trojúhelníku jako \(\Delta l=b\sin\theta\), kde \(b\) je vzdálenost sousedních štěrbin a \(\theta\) úhel, pod kterým vidíme bod M z pozice mřížky.

V případě konstruktivní interference je dráhový rozdíl \(\Delta l=k\lambda\), a proto dostáváme hledaný vztah \(b\sin\theta=k\lambda\).

Příklad 1

V Youngově experimentu osvěcujeme dvojštěrbinu monochromatickým zdrojem o vlnové délce \(\lambda=600\ \mathrm{nm}\). Uvažujme bod M na stínítku, který je od jedné štěrbiny vzdálen \(d_1\) a od druhé \(d_2\). Nastane v bodě M konstruktivní, nebo destruktivní interference, jestliže

1. \(d_2-d_1=0\),
2. \(d_2-d_1=3\ \mu\mathrm{m}\),
3. \(d_2-d_1=4{,}5\ \mu\mathrm{m}\)?

Řešení:

Ke konstruktivní interferenci dojde, jestliže je dráhový rozdíl

\[ \Delta l=d_2-d_1=k\lambda=2k\frac{\lambda}2 \]

neboli dráhový rozdíl je roven sudému násobku poloviny vlnové délky. Vypočítejme tedy podíl

\[ N = \frac{d_2-d_1}{\displaystyle\frac{\lambda}2} = \frac{2(d_2-d_1)}{\lambda}\;. \]

Pokud bude tento podíl roven sudému číslu, nastane v bodě M konstruktivní interference, pokud lichému, nastane v bodě M destruktivní interference.

1. Při nulovém rozdílu se nacházíme ve středu stínítka, kde je světlý proužek neboli konstruktivní interference.
2. \(N=(3\cdot2)/0{,}6=10\), v tomto bodě je tedy interferenční maximum.
3. \(N=(4{,}5\cdot2)/0{,}6=15\), v tomto bodě je tedy interferenční minimum.

Příklad 2

Červené světlo o vlnové délce 752 nm prochází skrze dvojštěrbinu, jejíž štěrbiny jsou od sebe vzdáleny 6,20 ⋅ 10⁻⁵ m. Dvojštěrbina je ve vzdálenosti 2,20 m od stínítka.

1. Pod jakým úhlem se odklání světelné vlnění odpovídající prvnímu světlému proužku na stínítku? V jaké vzdálenosti od středu stínítka toto maximum leží?
2. Pod jakým úhlem se odklání světelné vlnění odpovídající druhému tmavému proužku na stínítku? V jaké vzdálenosti od středu stínítka toto maximum leží?
3. Jak se změní poloha prvního centrálního maxima, jestliže v experimentu použijeme zelené světlo o vlnové délce 520 nm?

Řešení:

a) První maximum odpovídá \(k=1\). Interferenční podmínku pro maximum píšeme ve tvaru \(b\sin\theta_\mathrm{a}=k\lambda\). Pro velikost úhlu tedy platí:

\[ \theta_\mathrm{a} = \mathop{\mathrm{arcsin}}\frac{k\lambda}b\;. \]

Číselným dosazením získáváme \(\theta_\mathrm{a}=0{,}695^\circ\). Poloha tohoto maxima na stínítku může být určena pomocí vztahu \(\tan\theta_\mathrm{a}=y_\mathrm{a}/D\), který vychází z pravoúhlého trojúhelníku (viz obrázek).

Pro polohu maxima na stínítku tak získáváme \(y_\mathrm{a}=D\tan\theta_\mathrm{a}=2{,}20\tan(0{,}695^\circ)=0{,}027\ \mathrm{m}\).

b) Druhý tmavý proužek (minimum) odpovídá také \(k=1\). Interferenční podmínku pro minimum píšeme ve tvaru

\[ b\sin\theta_\mathrm{b}=(2k+1)\frac{\lambda}2 \;. \]

Pro velikost úhlu tedy platí:

\[ \theta_\mathrm{b} = \mathop{\mathrm{arcsin}}\frac{\displaystyle(2k+1)\frac{\lambda}2}b\;. \]

Číselným dosazením získáváme \(\theta_\mathrm{b}=1{,}04^\circ\).

Podobně jako v předchozí části obdržíme \(y_\mathrm{b}=D\tan\theta_\mathrm{b}=2{,}20\tan(1{,}04^\circ)=0{,}040\ \mathrm{m}\).

c) Protože vlnová délka zeleného světla je menší než vlnová délka červeného světla, bude i poloha minima nebo maxima pro zelené světlo v kratší vzdálenosti než pro červené světlo. Vypočítejme znovu část a), tentokrát ale pro zelené světlo:

\[ y_\mathrm{az}=\frac{\lambda_\mathrm{z}D}d=\frac{5{,}20\cdot10^{-7}\cdot2{,}20}{6{,}2\cdot10^{-5}}=0{,}018\ \mathrm{m}\; \]

Interference na mřížce

Optická mřížka je vlastně větší množství štěrbin, které jsme srovnali rovnoběžně vedle sebe. Obvykle ji charakterizujeme počtem štěrbin \(N\) na 1 mm nebo mřížkovou konstantou \(b=1/N\), která vyjadřuje, jak daleko jsou od sebe sousední štěrbiny. Mřížkovou konstantu také nazýváme perioda mřížky.

Jestliže mřížku osvěcujeme laserovým svazkem, jednotlivé štěrbiny se chovají přibližně jako bodové zdroje světla a na stínítku se skládá interferenční obrazec. Ten je tvořen sérií jasných maxim (světelných bodů odpovídajících hlavním maximům) a poměrně širokých tmavých pásů, kde bychom nalezli pravidelně se opakující velmi slabá sekundární maxima. Hlavní maxima jsou od sebe vzdálena tím více, čím je menší perioda mřížky. Při kolmém dopadu světla na mřížku platí pro konstruktivní interferenci na mřížce stejný vztah jako pro interferenci na dvojštěrbině \(b\sin\theta=k\lambda\). Jestliže má mřížka hodně štěrbin (mřížková konstanta \(b\) je menší), jsou hlavní maxima velmi úzká, sekundární maxima pak lze zcela zanedbat.

Ze zmíněného vztahu vidíme, že odchýlení světla od původního směru (úhel \(\theta\)) je větší, jestliže použijeme světlo s vyšší vlnovou délkou \(\lambda\). Proto se v interferenčním obrazci na mřížce maxima stejného řádu pro zelené světlo nacházejí ve větší vzájemné vzdálenosti než pro modré světlo (viz obrázek).

Pokud optickou mřížku osvítíme bílým světlem, pak mřížka rozloží světlo stejně jako optický hranol. Tohoto jevu využíváme při analýze světla v mnoha vědních oborech. Většina současných spektroskopů je vybavena kvalitními optickými mřížkami, které mají několik tisíc vrypů na 1 mm.

Více o spektroskopii a jejím využití se dozvíte v kapitole 25.

Příklad 3

Jaká je mřížková konstanta mřížky, která vytvoří ve světle o vlnové délce 450 nm maximum prvního řádu pod úhlem 15°? Kolik má tato mřížka vrypů na 1 mm?

Řešení:

Pro mřížku platí vztah \(b\sin\theta=k\lambda\), musíme z něj tedy vyjádřit mřížkovou konstantu \(b\) vztahem

\[ b = \frac{k\lambda}{\sin\theta} = \frac{1\cdot4{,}50\cdot10^{-7}}{\sin(15^\circ)} = 1{,}7\cdot10^{-6}\ \mathrm{m}\;. \]

To odpovídá počtu vrypů

\[ N = \frac1b = \frac1{1{,}7\cdot10^{-6}} = 588\,235\ \mathrm{m}^{-1}=588\ \mathrm{mm}^{-1}\;. \]

Interference světla na tenké vrstvě

Při dopadu světla na tenkou vrstvu oleje na hladině vody nebo na mýdlové bublině vznikají zajímavé barevné skvrny. Co je způsobuje a jak můžeme jejich vznik vysvětlit?

Příčinou vzniku barev v těchto situacích, jak již víme, je konstruktivní a destruktivní interference na tenké vrstvě v odraženém světle. Jak k tomu dochází, se můžete podívat na následujícím schématu znázorňujícím vznik červené barvy v odraženém světle na mýdlové bublině.

Poznámka na okraj: Interference světla na tenké vrstvě v odraženém světle

Abychom takovou interferenci dokázali alespoň přibližně popsat, podívejme se, co se děje při kolmém dopadu světla na tenkou vrstvu. Podaří se nám stanovit podmínku pro konstruktivní interferenci odražených vln 1′) a 2′)?

Dopadající světelná vlna se odráží na rozhraní vzduch–kapalina. Protože je kapalina opticky hustší než vzduch (index lomu \(n\)), dochází zde k otočení fáze (stejně jako při odrazu vlnění na pevném konci lana). Část světelné vlny pak pokračuje v kapalině, odráží se až na rozhraní kapalina–vzduch (zde již bez otočení fáze) a vrací se zpět jako vlna (2).

Jaký je dráhový rozdíl mezi vlnami (1) a (2)? Zatímco vlna (1) se šířila vzduchem, vlna (2) urazila v kapalině vzdálenost \(2d\) (\(d\) je tloušťka vrstvy). Protože se však v kapalině šíří \(n\)-krát menší rychlostí, vlna (1) mezitím ve vzduchu urazila \(n\)-krát větší vzdálenost, tedy \(2nd\). Navíc se jí otočila fáze, tudíž dráhový rozdíl \(\Delta l\) mezi odraženými vlnami (1) a (2) je možné vyjádřit jako

\[ \Delta l = 2nd + \frac{\lambda}2\;. \]

Podmínka pro konstruktivní interferenci na tenké vrstvě je tedy

\[ 2k\frac{\lambda}2 = 2nd + \frac{\lambda}2\;. \]

V odraženém světle proto uvidíme právě tu barvu, která splňuje předchozí podmínku. Ostatní barvy budou kvůli interferenci vln potlačeny. Protože se tloušťka vrstvy mění, můžeme na bublině pozorovat mnoho barevných proužků či skvrn. Jejich barva vždy odpovídá určité tloušťce vrstvy. Velmi pěkně je to vidět na svislé bublině, která kvůli gravitaci mění směrem dolů svou tloušťku.

S interferenčními jevy se setkáme i v přírodě. Struktura tělesných schránek některých brouků, křídel motýlů nebo minerálů je tak jemná a pravidelná, že tvoří optickou mřížku a barva je pak dána interferencí světla na této mřížce.

Interference v přírodě

Interferenci světla na tenké vrstvě také můžeme využít v technice. Optické prvky dalekohledů nebo třeba brýlí pokrýváme tenkou antireflexní vrstvou. Tato vrstva má za úkol eliminovat vznik parazitních odlesků na přední i zadní ploše čočky, přičemž využívá tzv. destruktivní interferenci. Dosahuje se toho pomocí nanesení tenké vrstvy (obvykle kolem 500 nm) různých oxidů tak, aby byl minimalizován odraz pro určitou vlnovou délku. Vrstev může být i několik na sobě. Zejména u slunečních brýlových čoček je důležité, aby byla antireflexní vrstva nanesena na zadní ploše čočky a do oka se nedostávaly paprsky odražené od vnitřní strany brýlí. Takové paprsky by komplikovaly vidění.

Využití antireflexní vrstvy

Polarizace světelných vln

Elektromagnetická vlna

Světlo se tedy chová jako vlnění, jak nám dokazují jevy difrakce a interference. Popisujeme-li mechanickou vlnu jako kmitání, které se šíří ve hmotném prostředí, v případě světelného vlnění je situace trochu jiná. Světlo ke svému šíření hmotné prostředí nepotřebuje. Jak tedy světelnou vlnu popíšeme?

Světelnou vlnu si můžeme znázornit následujícím schématem:

Světelné vlnění je tvořeno dvěma navzájem kolmými vektory – vektorem elektrické intenzity \(\Vec{E}\) a vektorem magnetické indukce \(\Vec{B}\), které jsou zároveň kolmé na směr šíření. V průběhu šíření vlnění tyto vektory mění svou velikost – oba kmitají ve směru kolmém ke směru šíření. Světlo je příčné elektromagnetické vlnění. Více o vzniku elektromagnetického vlnění, ke kterému patří i světlo, si povíme v kapitole 26.

Sluneční světlo nebo světlo žárovky je tzv. nepolarizované. Elektrická intenzita \(\Vec{E}\) kmitá v libovolné přímce kolmé na směr šíření. Můžeme si ji znázornit jako na následujícím obrázku, na kterém tmavý bod značí světelné vlnění, které se šíří k nám, a pro vektor \(\Vec{E}\) je povolen libovolný směr.

V případě polarizovaného vlnění již vektor elektrické intenzity kmitá pouze v jednom jediném směru. Takové vlnění nazýváme lineárně polarizované. V určité analogii tomu odpovídají směry vlasů neučesaného a učesaného kluka.

Způsoby polarizace

Polarizované světlo můžeme získat několika způsoby. Tím nejběžnějším je použití polarizačního filtru. Ten je vyroben z látky, jejíž molekuly jsou velmi podlouhlé a ve kterých elektrony oscilují právě ve směru jedné podélné osy. Při průchodu světla látkou je světlo kmitající v této podélné rovině elektrony pohlceno, zatímco vlna kmitající ve směru kolmém k molekulám filtrem projde. Filtr má tedy jednu polarizační osu, v jejímž směru světlo prochází, ostatní roviny kmitání elektromagnetických vln jsou absorbovány.

Polarizované světlo vzniká také odrazem. Když se podíváte na skleněnou plochu přes polarizační filtr a začnete jím otáčet, budou se měnit odlesky na skle. Odražené světlo je částečně polarizované a otáčením polarizačního filtru před objektivem můžeme zcela eliminovat jeho průnik do fotoaparátu. Fotografové využívají polarizační filtr při fotografování budov, v galeriích nebo v krajinářské fotografii pro ztmavení oblohy.

Velmi známým způsobem polarizace je dvojlom. Pozorujeme-li nějaký předmět přes průhledné prostředí, obyčejně se objeví jeden obraz. Krystaly islandského vápence (viz obrázek) však vytvářejí obrazy dva.

Světlo procházející přes islandský vápenec je zcela polarizované – jeho vlny jsou orientovány ve dvou navzájem kolmých rovinách. Můžeme se o tom přesvědčit jednoduchým experimentem, ve kterém nad krystalem otáčíme polarizačním filtrem a sledujeme, jak se postupně ztrácí jeden obraz a zároveň objevuje druhý.

Poznámka na okraj: Proč k rozdělení světla dochází?

Je to dáno krystalickou strukturou. Krystal je anizotropní, což znamená, že se v něm dvě navzájem kolmo polarizované vlny šíří různými rychlostmi, a krystal má tedy dva indexy lomu, pro každou polarizaci světla jiný. Tyto indexy jsou značně rozdílné – např. pro zmíněný islandský vápenec \(n_\mathrm{r}=1{,}658\) a \(n_\mathrm{m}=1{,}486\). Světlo tedy prochází přes krystal dvěma cestami, je rozděleno na dvě vlny. Tyto vlny jsou zcela polarizovány v navzájem kolmých rovinách, proto se při jejich analýze otáčením polarizačního filtru vždy jedna vlna ztrácí a druhá zeslabuje.

Jestliže mezi zkřížené polarizátory vložíme anizotropní materiál, dojde mezi oběma vlnami

k určitému časovému zpoždění, které bude mít za následek interferenci mezi těmito vlnami, a vznikne barevné spektrum. Toho můžeme využít ke zvýraznění kontrastu v optické mikroskopii krystalů nebo ke zviditelnění napětí v různých průhledných materiálech (viz galerie).

Kde polarizaci využijeme?