Látkové množství

Atomová hypotéza

V této kapitole začneme podrobněji zkoumat, jaká je vnitřní struktura různých látek a jaké to má důsledky. Základem našich představ je existence atomů a molekul – atomová hypotéza. Tento nápad je starý víc jak dvě tisíciletí; pochází od řeckého filosofa Démokrita z Abdér. Démokritos uvažoval o tom, že hmotu nelze donekonečna dělit na menší a menší části, proto musí existovat nějaké základní stavební částice – atomy. Jenže tyhle atomy jsou tak malé, že není možné je pozorovat přímo lidským zrakem ani optickým mikroskopem. Proto se z atomové hypotézy stal experimentálně prokázaný fakt až počátkem 20. století (více o tom najdete v motivační aktivitě „Je možné pozorovat atomy?“). V dnešní době můžeme atomy pozorovat prostřednictvím speciálních mikroskopů, např. AFM (atomic force microscopy). S atomy můžeme dokonce manipulovat; poprvé se to povedlo v roce 1989 vědcům z laboratoří IBM, kteří z pouhých 35 atomů xenonu vytvořili miniaturní logo (viz obrázek).

Co víme o atomech dnes? To nejdůležitější lze shrnout do čtyř jednoduchých vět.

V celé kapitole budeme z těchto poznatků vycházet. Pro většinu fyzikálních úvah není podstatné, zda se jedná o atom či molekulu, jejich chování je totiž podobné. Pro začátek si představte obyčejnou sklenici vody. Na první pohled voda vypadá docela klidně, ale ve skutečnosti se všechny její molekuly neustále divoce pohybují a s tím je spojena docela velká kinetická energie. Tuto vnitřní kinetickou energii můžeme zvýšit tím, že vodu ohřejeme. Rychlost pohybu molekul souvisí s teplotou. O tom se můžeme přesvědčit jednoduchým pokusem. K naší sklenici přidáme ještě druhou, do které nalijeme vodu horkou. Po ustálení víření vody do obou sklenic kápneme barvivo. Můžeme sledovat, jak se molekuly barviva postupně promíchávají s molekulami vody. Tento jev se nazývá difúze a jeho rychlost závisí na teplotě, neboť s teplotou roste rychlost chaotického pohybu molekul.

Molekuly vody se pohybují, ale voda ve sklenici přesto zůstává s jasně ohraničenou hladinou. Je to tím, že mezi molekulami vody působí přitažlivé síly. Přesto se na hladině občas najde molekula, které se přitažlivou sílu překonat podaří a od zbytku vody se odpoutá. Pozorujeme to jako vypařování vody (asi vás nepřekvapí, že horká voda se bude vypařovat rychleji). Síly, kterými na sebe působí atomy a molekuly, nazýváme obecně vazebné síly. S tím je spojená také potenciální vazebná energie. Není to ale tak jednoduché; problematika vzájemného působení atomů a molekul je velmi složitá a je základem celé chemie.

Podívejme se do třetice na naši sklenici vody. Kolik molekul vody obsahuje? V dalším textu se to naučíte sami spočítat, ale pojďme si teď prozradit výsledek a zamyslet se nad ním. 3 dl vody obsahují asi 10²⁵ molekul. Proti tomu je 300 miliard hvězd v naší galaxii opravdu směšně malé číslo. Následující úloha vám pomůže lépe si představit takto obrovské množství.

Příklad 1

1. Představte si, že by se každou sekundu ze sklenice vody (= 10²⁵ molekul) vypařilo 300 miliard molekul. Za jak dlouho by všechna voda zmizela?
2. Představte si, že 3 dl vody ze sklenice nalijete do oceánu a dokonale promícháte. Voda ze všech světových oceánů má objem asi 1,3 ⋅ 10¹⁸ m³. Pak naberete stejnou sklenici vody z oceánu. Budou v ní nějaké molekuly z vaší původní sklenice? A případně kolik?

Řešení:

a) Je to jednoduché:

\[t=\frac{10^{25}}{300\cdot10^9}\ \mathrm{s}=3{,}3\cdot10^{13}\ \mathrm{s}\approx10^{6}\ \mathrm{let}\]

To znamená, že ve skutečnosti se každou sekundu vypaří mnohem víc než 300 miliard molekul!

b) Poměr ředění je

\[\frac{0{,}0003\ \mathrm{m}^3}{1,3\cdot10^{18}\ \mathrm{m}^3}=2{,}3\cdot10^{-22}\]

Počet molekul ve sklenici je ale 10²⁵, takže po zředění jich bude \(2{,}3\cdot10^{-22}\times10^{25}=2300\).

Voda se může vypařit nebo zmrznout, což lze opět snadno pochopit na úrovni atomů a molekul. Přehledně to shrnuje obrázek tří skupenství látky.

Jak počítáme množství částic v tělese?

Atom je velmi malá částice, takže bychom ho samotný těžko zvážili. Nejlehčí atom vodíku má hmotnost pouhých 1,67 ⋅ 10⁻²⁷ kg. Lepší představu o vzájemné hmotnosti atomů proto získáme, když určíme, kolikrát je nějaký atom těžší než atom vodíku. Například atom helia je zhruba čtyřikrát těžší než atom vodíku, proto bychom mohli říct, že jeho relativní atomová hmotnost je 4. Z praktických důvodu se místo atomu vodíku používá atomová hmotnostní konstanta u, číselně blízká hmotnosti atomu vodíku.

Obdobně můžeme definovat také relativní molekulovou hmotnost \(M_\mathrm{r}=m_\mathrm{m}/\mathrm{u}\), kde \(m_\mathrm{m}\) je hmotnost molekuly. Podívejme se nyní na příklady relativních hmotností různých látek. Přesné hodnoty pro všechny prvky najdete například zde: https://cs.wikipedia.org/wiki/Rozšířená_periodická_tabulka

Zaokrouhlené hodnoty relativních hmotností vyplývají ze složení atomů (molekul). Tak například jádro helia se skládá ze dvou protonů a dvou neutronů, proto \(A_\mathrm{r}=4\). Podobně uhlík je šestý prvek periodické tabulky, má 6 protonů a 6 neutronů, proto \(A_\mathrm{r}=12\). Pozor, nejde o pravidlo, u těžších prvků už převažují neutrony nad protony. Například železo má 26 protonů a 30 neutronů, proto \(A_\mathrm{r}=56\). Velmi dobře se dají odvodit i hmotnosti molekul. Třeba takový vodík ve formě dvouatomové molekuly H₂ má \(M_\mathrm{r}=2\). Molekula H₂O se skládá ze dvou vodíků a jednoho kyslíku, proto \(M_\mathrm{r}=2+16=18\).

Proč nejsou ve skutečnosti relativní atomové hmotnosti celá čísla? Důvody jsou dva a oba velmi zajímavé.

1. Prvky se v přírodě obvykle vyskytují jako směs izotopů (atomů se stejným počtem protonů a různým počtem neutronů). Prvek je v přírodě tvořen směsí atomů o různé hmotnosti. Silně se to projeví například u lithia, kde dominuje těžší izotop ⁷Li. Naopak minimální vliv je u vodíku, kde 99,985% představuje izotop ¹H.
2. V jádru se uplatňují relativistické efekty – hmotnost jádra je menší než hmotnost oddělených protonů a neutronů, konkrétně platí rovnice spojující hmotnost s energií \(E=mc^2\) (podrobněji v kapitole 27).

Kontrolní otázka

Jaká je přibližně relativní molekulová hmotnost oxidu uhličitého (CO₂)?

\(M_\mathrm{r}={}\) [...]

Odeslat

Pomocí relativní atomové hmotnosti můžeme snadno počítat hmotnosti atomů (molekul), ale také množství atomů (molekul) v určitém množství látky, neboť pro celkovou hmotnost tělesa m musí platit \(m=Nm_\mathrm{a}\), kde \(N\) je počet atomů (molekul), \(m_\mathrm{a}\) je hmotnost jednoho atomu (molekuly).

Množství atomů v běžných tělesech dokážeme zapsat jen pomocí obrovských čísel. Proto byla zavedena speciální fyzikální veličina látkové množství s jednotkou mol. Jeden mol není nic jiného než přesně určený „balíček“ částic. Počet částic v tomto „balíčku“ je určen Avogadrovou konstantou \(N_\mathrm{A}=6{,}022\,140\,76\cdot10^{23}\ \mathrm{mol}^{-1}\).

Příklad 2

1. Vypočítejte hmotnost jedné molekuly vody.
2. Vypočítejte počet molekul v 0,3 kg vody.
3. Vypočítejte látkové množství 0,3 kg vody.

Řešení:

a) \(m_\mathrm{m} = M_\mathrm{r}u = 18\times1{,}66\cdot10^{-27}\ \mathrm{kg} = 30\cdot10^{-27}\ \mathrm{kg}\).

b) \(\displaystyle N=\frac{m}{m_\mathrm{m}} = \frac{0{,}3\ \mathrm{kg}}{30\cdot10^{-27}\ \mathrm{kg}} = 10^{25}\).

c) \(\displaystyle n=\frac{N}{N_\mathrm{A}} = \frac{10^{25}}{6\cdot10^{23}\ \mathrm{mol}^{-1}} = 17\ \mathrm{mol}\).

Příklad 3

Vypočítejte hmotnost jednoho molu

1. atomárního vodíku (H),
2. železa (Fe),
3. vody (H₂O).

Řešení:

Máme provést ten samý výpočet třikrát, jen pokaždé pro jinou látku. Určitě se proto vyplatí začít obecným řešením a dosazování číselných hodnot nechat až nakonec. Platí

\[ \begin{aligned} m &=Nm_\mathrm{a}\\ &=nN_\mathrm{A}m_\mathrm{a}\\ &=nN_\mathrm{A}A_\mathrm{r}u\\ \end{aligned} \]

V našem případě je látkové množství \(n = 1\ \mathrm{mol}\) a součin Avogadrovy konstanty a atomové hmotnostní konstanty je

\[ N_\mathrm{A}u = 6{,}022\cdot10^{23}\ \mathrm{mol}^{-1} \times 1{,}66\cdot10^{-27}\ \mathrm{kg} = 0,001\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{mol}^{-1} \]

Teď jsme připraveni dosazovat

1. \(m = 1\ \mathrm{mol}\times0{,}001\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\times 1 = 0{,}001\ \mathrm{kg}=1\ \mathrm{g}\).
2. \(m = 1\ \mathrm{mol}\times0{,}001\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\times 56 = 0{,}001\ \mathrm{kg}=56\ \mathrm{g}\).
3. \(m = 1\ \mathrm{mol}\times0{,}001\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\times 18 = 0{,}001\ \mathrm{kg}=18\ \mathrm{g}\).

Systematický postup se nám vyplatil! Vidíme, že výpočty pro konkrétní látky jsou po obecném odvození již velmi jednoduché. Dokonce jsme dokázali, že hmotnost jednoho molu v gramech je číselně rovna relativní atomové (molekulové) hmotnosti.

V předchozím příkladu jsme odhalili zajímavou souvislost: molární hmotnost = hmotnost jednoho molu v gramech – je číselně rovna relativní atomové (molekulové) hmotnosti. To je možné jen díky tomu, že součin Avogadrovy konstanty a atomové hmotnostní konstanty je roven \(0{,}001\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{mol}^{-1} = 1\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\). Jinými slovy, hmotnost 1 molu vodíku je přibližně 1 g. Avogadrova konstanta je zvolena právě tak, aby hmotnost 1 molu uhlíku ¹²C byla přesně 12 g. Molární hmotnost je v praxi často používanou veličinou, proto si zaslouží vlastní definici:

Všechny veličiny přehledně shrnuje závěrečná grafika:

Kontrolní otázka

Doplňte správně jednotky uvedených veličin. V případě bezrozměrné veličiny napište do políčka "1".

1) Látkové množství \(n\)

2) Molární hmotnost \(M_\mathrm{m}\)

3) Relativní atomová hmotnost \(A_\mathrm{R}\)

4) Počet částic \(N\)

5) Hmotnost atomu \(m_\mathrm{a}\)

Odeslat

Kontrolní otázka

Ve kterém případě je vzorek určité látky složen z největšího počtu molekul?

1 kg helia
1 kg železa
1 kg vody
1 kg dusíku
1 kg mědi

Odeslat  

Příklad 4

1. Kolik kg CO₂ vznikne spálením 1 kg čistého uhlíku?
2. V zemské atmosféře je asi 2 ⋅ 10¹⁵ kg oxidu uhličitého. Lidé ročně spálí asi 6 ⋅ 10¹² kg uhlíku z fosilních paliv. Jaký je roční přírůstek oxidu uhličitého za předpokladu, že veškerý oxid uhličitý je zachován v atmosféře?

Řešení:

a) Nezáleží na přesném průběhu chemických reakcí. Podstatné jsou vstupy a výstupy, v tomto případě tedy můžeme zapsat

\[ \mathrm{C}+\mathrm{O_2}\to\mathrm{CO_2} \]

Pro relativní hmotnosti platí: \(A_\mathrm{R}(\mathrm{C})=12\), \(M_\mathrm{R}(\mathrm{O}_2)=32\), \(M_\mathrm{R}(\mathrm{CO}_2)=12+32=44\). Můžeme tedy říci, že poměr hmotností \(M_\mathrm{R}(\mathrm{CO}_2)/A_\mathrm{R}(\mathrm{C})=44/12=11/3=3,7\). Z toho vyplývá, že spálením 1 kg uhlíku vznikne asi 3,7 kg CO₂.

b) Díky předchozímu výpočtu už stačí jen násobit \(3,7\times6\cdot10^{12}\ \mathrm{kg} = 22\cdot10^{12}\ \mathrm{kg} = 2\cdot10^{12}\ \mathrm{kg}\). To je asi 1 % celkového množství v atmosféře.

Poznámka na okraj: Avogadrova konstanta

I když molekuly a atomy nejsou pouhým okem viditelné, vědcům se přesto podařilo je změřit i spočítat. K tomu však vedla dlouhá a klikatá cesta. Jedním z těch, kdo se o to zasloužil, byl italský šlechtic Lorenzo Romano Amedeo Carlo Avogadro, hrabě z Quarenga a Cerreta. V roce 1811 publikoval hypotézu o tom, že počet částic plynu je za stejného tlaku a teploty přímo úměrný objemu plynu. Tento předpoklad vystavěl na domněnce, že hmotnost molekul je přímo úměrná hustotě plynu. Základní myšlenka jeho teorie vycházela z představy, že nejmenší částice plynu jsou molekuly (molekula – latinsky malé množství hmoty), které jsou složeny ze dvou nebo i více atomů. Za svého života se Amedeo Avogadro potvrzení a uznání své molekulární hypotézy nedočkal – mezi současníky nevzbudila téměř žádnou pozornost, a pokud ano, byla i odmítána. Avogadro totiž nedokázal své hypotézy přesně experimentálně ověřit.

Prvním vědcem, který dokázal molekuly skutečně „spočítat“, byl Rakušan českého původu Johann Josef Loschmidt. V roce 1866 publikoval práci „O velikosti molekul vzduchu“. Loschmidt určil rozměry molekul tak, že porovnával hustotu látky v kapalném a plynném skupenství. Předpokládal přitom, že molekuly jsou kulovitého tvaru a v kapalném skupenství jsou k sobě těsně uspořádány. Na základě svých výpočtů určil počet molekul v 1 cm³ ideálního plynu při normálním tlaku a teplotě. Ten je dnes označován jako Loschmidtova konstanta.

Samotný pojem „Avogadrova konstanta“ pak vytvořil v roce 1909 fyzik Jean Perrin, který ji definoval jako počet molekul v přesně 32 gramech kyslíku. Cílem této definice bylo dosáhnout toho, aby se hmotnost molu látky v gramech číselně rovnala relativní molekulové hmotnosti jeho molekul.

V roce 1971 bylo látkové množství určeno jako nezávislá fyzikální veličina a mol jako jedna ze sedmi základních jednotek soustavy SI. Konkrétně byl mol definován jako množství látky, která obsahuje tolik částic, kolik je atomů ve 12 g uhlíku ¹²C. V důsledku této definice získala Avogadrova konstanta v systému SI hodnotu přibližně \(6{,}022\cdot10^{23}\ \mathrm{mol}^{-1}\). Od roku 2019 je pak Avogadrova konstanta pevně stanovená jako \(N_\mathrm{A} = 6{,}022\,140\,76\cdot10^{23}\ \mathrm{mol}^{-1}\).

Hodnotu Avogadrovy konstanty je možné velmi přesně změřit například pomocí zkoumání struktury pravidelných krystalů nebo pomocí elektrolýzy (tuto metodu si můžete sami vyzkoušet v praktiku).

Teplota

Jak definujeme teplotu?

Kde se setkáváme s měřením teploty

Jak dokumentuje úvodní galerie, s teplotou a jejím měřením se setkáváme na každém kroku. Teplota je také jednou ze sedmi základních veličin soustavy SI. Možná vás ale překvapí, že první teplotní stupnice a první pořádné teploměry byly vynalezeny až na začátku 18. století. Definovat a správně měřit teplotu totiž není tak jednoduché, jak by se mohlo na první pohled zdát. Proč tomu tak je? Jak jsme naznačili v úvodu této kapitoly, teplota je spojena s  kinetickou energií částic, tedy s jejich neustálým chaotickým pohybem. Ten se ale nedá přímo měřit, proto je nutné měřit teplotu nepřímo – pomocí nějaké jiné fyzikální veličiny, která je na teplotě závislá. Tou může být objem plynu či kapaliny nebo třeba elektrický odpor polovodiče (známe z deváté kapitoly). Vnímat teplotu dokážeme i my lidé, ale nepříliš spolehlivě. Můžete se o tom přesvědčit jednoduchým pokusem, jehož princip najdete v popisu obrázku.

K tématu praktické konstrukce teploměrů a teplotních stupnic se ještě vrátíme. Měření teploty je založeno na existenci rovnovážného stavu. Vysvětlíme si to na jednoduchém příkladu (viz obrázek): mějme dvě tělesa, která jsou ve vzájemném kontaktu, ale jinak od okolí izolována. Je-li na začátku jedno těleso teplejší než druhé, musí jeho částice při nárazech předávat část své energie pomalejším částicím chladnějšího tělesa. Takto se postupně energie, a tedy i teploty těles vyrovnají. Odborně řečeno: soustava dospěje do rovnovážného stavu.

Proč je to tak důležité? Teploměr nám vždy ukazuje svoji vlastní teplotu. Teprve za předpokladu, že byl v rovnovážném stavu s měřeným tělesem, můžeme říct, že teplota měřeného tělesa je stejná jako teplota teploměru. Všichni to dobře známe při měření lékařským teploměrem; přiložíme teploměr a čekáme, až nastane rovnováha (teplota se přestane měnit). Teprve pak přečteme teplotu na teploměru.

Nyní můžeme definovat teplotní stupnici. V dnešní době se ve světě používají tři: Celsiova, Fahrenheitova a termodynamická. Každá stupnice je definována pomocí dvou bodů.

V případě Celsiovy stupnice je to bod tání ledu (0 °C) a bod varu vody za normálního tlaku (100 °C). Právě díky přehlednému navázání na změny skupenství vody (mráz = záporná teplota) používáme tuto stupnici dodnes. Pro teplotu ve °C je zvykem používat symbol \(t\).

Původní Fahrenheitova stupnice vycházela z těchto bodů: nejnižší teplota, jaké se podařilo Fahrenheitovi dosáhnout smícháním chloridu amonného, vody a ledu (0 °F) a normální tělesná teplota člověka (96 °F). Později byly referenční body upraveny na 32 °F pro bod mrazu vody a 212 °F pro bod varu vody. Dnes je používaná především v USA.

Nejnovější termodynamická stupnice je zhruba o jedno století mladší. Zavedl ji skotský fyzik William Thomson (lord Kelvin) a podle něj má svůj název jednotka kelvin – základní jednotka teploty v soustavě SI. V té době už fyzikové věděli, že existuje nejnižší možná teplota, při které by se úplně zastavil chaotický pohyb atomů. Tato teplota se nazývá absolutní nula (0 K). K definici stupnice pak stačí jediný bod – trojný bod vody (273,16 K). Trojný bod představuje rovnovážný stav všech tří skupenství vody (viz kapitola 11) a v Celsiově stupnici odpovídá teplotě 0,01 °C. Díky tomu, že termodynamická teplota nemůže být záporná, usnadňuje nám zápis mnoha fyzikálních zákonů (s některými se setkáme i v naší učebnici). Pro odlišení se pro ni používá písmeno \(T\). Srovnání všech tří stupnic ukazuje následující obrázek:

V obrázku si můžete všimnout, že převod mezi termodynamickou a Celsiovou stupnicí je snadný, protože stupnice mají stejně velké dílky a liší se pouze posunem o 273,15. Pro teplotní rozdíly proto platí \(\Delta T = \Delta t\).

Spodní hranicí teploty je absolutní nula (0 K). Teploty jen o několik setin kelvinu vyšší než absolutní nula už dokážeme vytvořit v laboratoři. Při nízkých teplotách se objevuje velmi zvláštní chování hmoty – například supravodivost (viz poznámka v kapitole 8) nebo supratekutost. Horní hranice teploty nemá teoretický limit. Například v jádrech hvězd dosahují teploty milionů kelvinů. Takto vysoké teploty umožňují slučování jader, které dodává hvězdám energii (viz jaderná fúze – kapitola 27).

Kontrolní otázka

Teplota tání rtuti je –39 °C. Kolik je to kelvinů? [...] K (zaokrouhlete na celé číslo)

Odeslat

Jak měříme teplotu?

Teplotu musíme měřit nepřímo, pomocí jiné fyzikální veličiny, která je na teplotě závislá. Z toho vychází také různé druhy teploměrů.

Kapalinový teploměr

Kapalinový teploměr měří teplotu pomocí rozpínání kapaliny. Jelikož je roztažnost kapalin velmi malá, musí být k baňce s kapalinou připojena tenká trubička – kapilára (viz obrázek).

Rozpínání kapalin je přibližně lineární, proto mohou být dílky na stupnici teploměru stejně dlouhé. Řečeno matematicky – změna objemu \(\Delta V\) je přímo úměrná změně teploty \(\Delta t\).

V kapalinových teploměrech se nejčastěji používá obarvený líh, jeho koeficient teplotní objemové roztažnosti je \(\beta=1{,}12\cdot10^{-3}\ \mathrm{K}^{-1}\). To znamená, že při ohřátí o 1 K (1 °C) bude platit \(\Delta V = 0{,}00112 V_0\) , tedy objem lihu se při ohřátí o 1°C zvětší přibližně o jednu tisícinu původní hodnoty. Důležitý je u každého teploměru také jeho rozsah. Lihový teploměr může teoreticky fungovat maximálně v rozmezí od −114 °C (teplota tuhnutí) do 78 °C (teplota varu).

Kontrolní otázka

1 litr lihu se ohřeje o 10 °C. Vyberte všechna správná tvrzení:

Objem lihu se zvětší cca o 1 ml.
Objem lihu se zvětší cca o 10 ml.
Objem lihu se zvětší cca o 0,01 l.
Objem lihu se zvětší cca o 0,1 l.
Objem lihu se zvětší cca o 0,1 %.
Objem lihu se zvětší cca o 1 %.

Odeslat  

Příklad 1

Lihový teploměr je tvořen baňkou o objemu 1 ml a kapilárou o vnitřním průměru 0,6 mm. Jakou délku bude mít dílek na stupnici teploměru, který odpovídá změně teploty o 1 °C?

Řešení:

Nejdříve vypočítáme, o kolik naroste objem lihu při \(\Delta t = 1\ ^\circ\mathrm{C}\). Budeme počítat v cm³, neboť 1 ml = 1 cm³.

\[ \Delta V = V_0 \cdot \beta \cdot \Delta t = 1 \cdot 1,12 \cdot 10^{-3} \cdot 1\ \mathrm{cm}^3 = 0{,}001\ \mathrm{cm}^3 \]

Kapilára má tvar válce o průměru \(d\), a její objem tedy můžeme vyjádřit jako \(V=Sh=\pi d^2/4\cdot h\). Pokud nyní za \(V\) dosadíme vypočítané zvětšení objemu lihu \(\Delta V\), dostaneme hledanou výšku \(h\) odpovídající jednomu dílku na stupnici (dosazujeme hodnoty v cm a cm³):

\[ h= \frac{4V}{\pi d^2} = \frac{4\cdot0{,}001}{3{,}14\cdot0{,}06^2}\ \mathrm{cm} = 0{,}35\ \mathrm{cm}\]

Plynový teploměr

Plynový teploměr je založen na principu rozpínání plynu v závislosti na teplotě. Byl to historicky první druh teploměru, neboť má jednoduchou konstrukci.

Takto vyrobený plynový teploměr je ovšem prakticky těžko použitelný, protože plyn v nádobě se bude rozpínat také v závislosti na tlaku okolního vzduchu. Profesionální plynový teploměr je proto hermeticky uzavřený.

Bimetalový teploměr

Bimetalový teploměr využívá teplotní roztažnosti kovů. Bimetal je pásek ze dvou kovů o různých tepelných roztažnostech (například ocel a bronz), které jsou navzájem pevně spojeny (slisovány nebo svařeny). Při zahřátí se jeden z dvojice kovů roztahuje víc než druhý, a tím dochází k ohýbání pásku. Někdy je pásek stočený do tvaru šroubovice, čímž dosáhneme větší citlivosti (viz obrázek). Bimetal se kromě teploměru využívá také v mechanickém termostatu (viz obrázek), který zajišťuje stálou teplotu v troubě, žehličce a podobných tepelných spotřebičích.

Teplotní roztažnost pevných látek je sama o sobě důležitým jevem. Podobně jako u kapalin můžeme změnu délky s teplotou modelovat přibližně jako lineární. Také vzorec je velmi podobný – změna délky \(\Delta l\) je přímo úměrná změně teploty \(\Delta t\).

Koeficient teplotní délkové roztažnosti například pro ocel je \(\alpha = 1{,}2\cdot10^{-5}\ \mathrm{K}^{-1}\). To znamená, že při ohřátí o 1 K (1 °C) bude platit \(\Delta l = 0{,}000012l_0\), tedy délka ocelového předmětu se při ohřátí o 1 °C zvětší o 12 miliontin původní hodnoty.

Příklad 2

Ocelové lano o délce 50 m se ohřálo o 20 °C. Jak se změnila jeho délka?

Řešení:

\(\Delta l = l_0 \cdot \alpha \cdot \Delta t = 50 \cdot 0{,}000 012 \cdot 20\ \mathrm{m}= 0,012\ \mathrm{m} = 12\ \mathrm{mm}\).

To není mnoho, ale v mnoha konstrukcích je třeba i s takto nenápadným jevem počítat.

Některé příklady, kde se s délkovou roztažností setkáme v praxi, najdete v galerii.

Teplotní roztažnost

Odporový teploměr

Odpor vodičů i polovodičů závisí na teplotě. U polovodičů je tato závislost mnohem výraznější, proto se používají pro měření teploty speciální polovodičové prvky – termistory. Princip a zapojení termistoru jsou podrobně vyloženy v 9. kapitole. Z této kapitoly také víme, že velkou výhodou termistoru je snadný převod teploty na napětí. Používá se proto převážně tam, kde je informace o teplotě dále digitálně zpracovávána. Termistory jsou omezeny teplotním rozsahem cca −50 °C až 150 °C. Pro větší teplotní rozsahy a přesnější měření se používají teploměry využívající platinu nebo nikl.

Teplotu je možné měřit také pomocí termočlánku – viz poznámka termoelektrický jev v osmé kapitole.

Radiační teploměr

Radiační teploměr umožňuje bezkontaktní měření teploty. Měření teploty na dálku je možné díky tomu, že každé těleso vyzařuje elektromagnetické záření. V případě těles o teplotách do cca 500 °C se jedná pouze o infračervené záření, které je okem neviditelné (podrobněji v kapitole 26). Detektor v teploměru dokáže zaznamenat jeho intenzitu a z ní odvodit teplotu tělesa. V praxi je důležité, že při měření musí měřené těleso pokrývat celý zorný úhel teploměru (viz obrázek).

Na podobném principu funguje také termokamera, která dokáže pořizovat snímky v infračerveném spektru (viz galerie – Kde se setkáváme s měřením teploty).

Příklad 3

V následujících příkladech jsou popsány nevhodné způsoby měření teploty. U každého příkladu vysvětlete, proč nebude měření fungovat správně, a navrhněte lepší metodu.

1. Jana navrhuje měřit teplotu vody v hrnci při vaření tak, že do hrnce vloží lihový teploměr.
2. Olga navrhuje měřit teplotu vzduchu na osluněné pláži tak, že položí lihový teploměr na písek a počká 2 minuty. Poté odečte teplotu z teploměru.
3. Tomáš navrhuje měřit teplotu pacienta tak, že na jeho obličej ze vzdálenosti cca 1,5 m namíří radiační teploměr.
4. Vojta navrhuje měřit teplotu dešťových kapek tak, že nachytá déšť do skleničky a pak do vzorku ponoří termistorový teploměr.
5. David navrhuje měřit teplotu ledové kostky tak, že k ní přiloží lihový teploměr a po 1 minutě odečte teplotu.
6. Mirek navrhuje měřit teplotu v troubě tak, že namíří radiační teploměr přes skleněná dvířka do trouby a odečte teplotu.

Řešení:

1. Lihový teploměr tak vysokou teplotu nevydrží. Pro tyto účely se používá buď kapalinový teploměr se speciální kapalinou, nebo teploměr termistorový.
2. Teploměr bude silně ovlivněn zářením ze Slunce. Navíc písek bude rozpálený. Pro měření teploty vzduchu je potřeba mít teploměr ve stínu a dál od ostatních předmětů.
3. Z takové vzdálenosti bude v zorném úhlu teploměru nejen celá hlava, ale i její okolí. Je potřeba měřit teplotu ze vzdálenosti kolem 10 cm.
4. Kapky jsou malé a ve skleněné nádobě se rychle ohřejí. Bylo by možné nachytat kapky do nádoby z pěnového polystyrénu, která nebude kapky tolik ohřívat.
5. Led bude na vzduchu tát. Popsaným způsobem tak změříme spíš teplotu vody, která se na ledové kostce objeví. Teplotu ledu je potřeba měřit ihned po vytažení z mrazáku, nejlépe rychlým termistorovým nebo radiačním teploměrem.
6. Infračervené záření (narozdíl od světla) neprojde přes skleněná dvířka. Je potřeba troubu otevřít.

Vnitřní energie

Čím je tvořena vnitřní energie tělesa?

S chaotickým pohybem částic v tělese je spojena značná kinetická energie. Tato energie je „ukryta“ uvnitř tělesa, proto ji označujeme jako vnitřní kinetickou energii. Nabízí se otázka – může mít těleso také vnitřní potenciální energii? Ano, může, protože atomy na sebe vzájemně působí silami, mohou navazovat vazby (spojovat se do molekul), nebo se vazby mohou naopak štěpit. To se děje při změnách skupenství nebo v chemických reakcích. Například při vypařování je potřeba dodat energii k přerušení vazeb mezi molekulami. Nebo při hoření dochází k uvolňování vazebné energie. Naopak vaše tělo si dokáže ukládat vnitřní potenciální energii ve formě cukrů a tuků. Obrovská potenciální energie je spojena také s jadernými silami. Změny jaderné energie nastávají při jaderných reakcích, které jsou však, narozdíl od chemických reakcí, v našem okolí docela vzácné.

Podívejme se na vazebnou energii ještě trochu podrobněji. Z chemie víme, že u některých reakcí se potenciální energie vazeb snižuje a látka se ohřívá – takovým reakcím říkáme exotermické. Naopak pokud se potenciální energie vazeb zvyšuje, mluvíme o endotermických reakcích. Detaily si ukážeme na konkrétním příkladu hoření plynu.

Zemní plyn, který používáme k topení a vaření, je z velké části tvořen metanem. Dokonalé spalování metanu je možné popsat jednoduchou chemickou rovnicí, a to včetně uvolněné vazebné energie.

Jak si to představit? Přeskupením atomů při reakci se vnitřní potenciální energie sníží (navážou se pevnější vazby mezi atomy) a o stejný díl vzroste vnitřní kinetická energie (látka se ohřeje). Uvolněná energie je číselně velmi malá, ale to proto, že je vztažena jen k jedné molekule metanu. Můžeme ji přepočítat na větší množství látky, jak ukazuje následující příklad.

Příklad 1

Pomocí výše uvedené rovnice vypočítejte, kolik energie se uvolní dokonalým spálením 1 kg metanu. Molární hmotnost metanu je \(M_\mathrm{m}=16\ \mathrm{g}/\mathrm{mol}\).

Řešení:

Úlohu budeme řešit obecně, číselné dosazení necháme až na konec. Snadno spočítáme, kolik energie se uvolní spálením 1 molu metanu:

\(E_\mathrm{mol} = N_\mathrm{A} E_1\) (\(E_1\) je energie uvolněná spálením 1 molekuly metanu, \(N_\mathrm{A} \) je Avogadrova konstanta)

Dál musíme vypočítat, kolik molů je v 1 kg metanu. Ale to už umíme:

\[ n = \frac{m}{M_\mathrm{m}} \]

Dohromady:

\[ E = n E_\mathrm{mol} = \frac{m}{M_\mathrm{m}}\cdot N_\mathrm{A} E_1 = 50\,000\,000\ \mathrm{J} = 50\ \mathrm{MJ} \]

Energie uvolněná při chemické reakci má velký praktický význam. Pomocí ní je definována výhřevnost \(H\) – množství energie, která se uvolní dokonalým spálením 1 kg paliva. Platí:

V tabulce vidíme jasného vítěze v množství energie na jednotku hmotnosti – vodík. Proto se používá třeba jako palivo v raketových motorech. Problém vodíku je ale ten, že se velmi špatně skladuje a má malou hustotu. Pro zajímavost uveďme, že hustota energie lithiového akumulátoru je cca 0,7 MJ/kg (hustota energie akumulátoru je údaj srovnatelný s výhřevností – udává množství elektrické energie uložené v 1 kg). Tento fakt může za to, že většina aut stále ještě jezdí na benzín či naftu, kde je množství energie uložené v jednom kg o dva řády vyšší.

Poznámka na okraj: Výhřevnost, nebo spalné teplo?

V předchozích příkladech jsme počítali výhřevnost – energii uvolněnou dokonalým spálením 1 kg látky. Často se ale stává, že hořením vzniká voda, která poté může kondenzovat. Při změně skupenství z plynu na kapalinu se uvolní ještě další energie (skupenské teplo). Proto se definuje veličina spalné teplo – energie, která se uvolní při spálení 1 kg látky za předpokladu, že voda uvolněná spalováním zkondenzuje. Tím se spalné teplo liší od výhřevnosti, kde je na konci reakce voda v plynném skupenství. Spalné teplo je tedy větší o skupenské teplo vypařování vody. Rovnost nastává jen v případech, kdy spalováním nevzniká voda.

Příklad 2

Petr se rozhoduje, zda topit plynem, dřevem či elektřinou. Plyn nakupuje za cenu 13 Kč za m³ plynu. Z 1 m³ plynu získáme asi 10,5 kWh energie. Pro krbová kamna má k dispozici smrkové dřevo za cenu 550 Kč/m³. Elektřinu pro vytápění může nakupovat za cenu 2 Kč/kWh. Porovnejte cenu za kWh pro všechny tři způsoby vytápění.

Řešení:

Plyn: cena za 1 kWh je \(13\ \hbox{Kč}/10{,}55\ \mathrm{kWh} = 1{,}2 \hbox{Kč}/\mathrm{kWh}\)

Dřevo: nejprve vyhledáme hustotu smrkového dřeva (450 kg/m³) a jeho výhřevnost (15 MJ/kg). Výhřevnost snadno převedeme: \(15\ \mathrm{MJ/kg}\cdot450\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 = 6750\ \mathrm{MJ}/\mathrm{m}^3\). Cena za 1 MJ je tedy \(550\ \hbox{Kč}/6750\ \mathrm{MJ}=0{,}08\ \hbox{Kč}/\mathrm{MJ}\). \(1\ \mathrm{kWh}=3{,}6\ \mathrm{MJ}\), proto \(0{,}08\ \hbox{Kč}/\mathrm{MJ} = 0{,}29\ \hbox{Kč}/\mathrm{kWh}\).

Vidíme, že dřevo jasně vede, na druhém místě je plyn a poslední elektřina. Cena za kWh však není jediný faktor při výběru zdroje tepla. Zkuste sami jmenovat některé další.

Teplo

Představte si, že chcete uvařit čaj. Můžete k tomu použít oheň, plynový sporák nebo rychlovarnou konvici. Ve všech případech ohříváte vodu díky tomu, že ji necháte v kontaktu s horkým tělesem. Částice horkého tělesa se pohybují většími rychlostmi a při nárazech předávají energii pomalejším částicím studenější látky. Tomuto způsobu předávání vnitřní energie říkáme tepelná výměna. Z toho vyplývá definice tepla jako samostatné fyzikální veličiny. Teplo \(Q\) je vnitřní energie předaná mezi tělesy v důsledku jejich teplotního rozdílu.

Jak ale zjistíme, jaké teplo je potřeba k ohřátí daného tělesa? Odpověď je možné získat experimentálně. Například ohříváním látek pomocí elektrického proudu. Dodané teplo je v tomto případě rovno spotřebované elektrické energii (\(Q=E=UIt\)).

Poznámka na okraj: Měření ohřevu vody

Chcete-li provést vlastní měření, které alespoň přibližně prokáže, jak souvisí změna teploty tělesa a dodané teplo, bude vám k tomu stačit rychlovarná konvice. Stačí znát výkon konve \(P\) a měřit čas ohřevu \(t\). Pak platí \(E=Pt\). Takto vypočítanou energii můžeme porovnávat s tím, kolik vody (hmotnost \(m\)) a o jaký teplotní rozdíl (\(\Delta t\)) jsme ohřáli. Připravte si podobnou tabulku, jako je na obrázku, a pusťte se do vlastního měření.

Na základě vašeho měření odpovězte na otázky.

1. Jaká je závislost dodané energie na teplotním rozdílu?
2. Jaká je závislost dodané energie na hmotnosti vody?
3. Pokuste se na základě změřených dat vypočítat, kolik energie by bylo potřeba na ohřátí 1 kg vody o 1 °C.
4. Které jevy nejvíc ovlivňují přesnost našeho měření?

Číslo měření	\(E=Pt\) (J)	\(m\) (kg)	\(\Delta t\) (°C)	Pozn.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Teplo \(Q\) potřebné k ohřátí homogenního tělesa o teplotní rozdíl \(\Delta T\) je přímo úměrné tomuto teplotnímu rozdílu a hmotnosti tělesa \(m\). Jako konstanta úměrnosti zde vystupuje vlastnost ohřívané látky, která se nazývá měrná tepelná kapacita \(c\).

Připomeňme, že teplotní rozdíl je možné počítat také ve °C, neboť platí \(\Delta T = \Delta t\). Podívejme se nyní blíže na měrnou tepelnou kapacitu. Ze vzorce vyplývá, že jednotkou \(c\) musí být J ⋅ kg⁻¹ ⋅ K⁻¹. Hodnota \(c\) nám tedy říká, kolik tepla je potřeba k ohřátí 1 kg látky o 1 K. Někdy se setkáme ještě s veličinou tepelná kapacita C, která se vztahuje ke konkrétnímu tělesu.

Měrné tepelné kapacity vybraných látek uvádí následující tabulka. Hodnoty \(c\) jsou zjišťovány většinou experimentálně, jejich teoretický výpočet je možný, ale obtížný. Při přesnějších měřeních se také ukazuje, že hodnota \(c\) se může s teplotou mírně měnit, proto jsou běžně uváděné hodnoty platné zpravidla pro teploty kolem 20 °C.

Kontrolní otázka

Tepelná kapacita nerezového hrnce je 800 J ⋅ K⁻¹. Kolik tepla v joulech je potřeba k ohřátí hrnce o 10 °C?

Odeslat

Příklad 3

Potřebujeme přivést 2 l vody k varu z původní teploty 20 °C pomocí rychlovarné konvice.

1. Kolik tepla v joulech bude potřeba? Ztráty tepla do okolí neuvažujte.
2. Jaká bude cena energie potřebné k ohřevu? Cena elektrické energie je 10 Kč/kWh.

Řešení:

a) Nejdříve vypočítáme potřebné teplo:

\[Q = mc\cdot\Delta T = 2\ \mathrm{kg} \cdot 4180\ \mathrm{J/(kg\cdotK)} \cdot 80\ \mathrm{K} = 668\,800\ \mathrm{J} = 0{,}186\ \mathrm{kWh} \]

b) \(668\,800 \mathrm{J} = 0{,}186\ \mathrm{kWh}\). Cena je \(0{,}186\ \mathrm{kWh}\cdot10\ \hbox{Kč/kWh} = 0{,}9\ \hbox{Kč}\).

Příklad 4

První dům má mohutné zdi z plných cihel. V druhém jsou použity naopak lehké materiály – dřevo a sádrokarton. Porovnejte chování obou domů z hlediska vnitřní teploty v zimní a letní sezóně.

Řešení:

Cihlové zdi mají velkou hmotnost, a tedy i velkou tepelnou kapacitu. Proto budou stabilizovat teplotu v domě. V zimě bude déle trvat, než se dům ohřeje topením. To může být nevýhodné, pokud není dům trvale obývaný. V horkých dnech se bude v domě udržovat nižší teplota a nebude nutná klimatizace.

Naopak dům z lehkých materiálů se bude rychle ohřívat i chladnout. Teplota uvnitř bude rychleji následovat vnější teploty, což je nevýhodné zejména v létě.

Už víme, že teplo představuje předanou vnitřní kinetickou energii, která je zase spojena s pohybem částic. Proto můžeme teplo počítat ve stejných jednotkách jako mechanickou energii – v joulech. Jméno této jednotce propůjčil anglický fyzik James Prescott Joule na konci 19. století. Předtím se teplo měřilo v samostatných jednotkách – kaloriích. Přestože nejde o povolenou jednotku soustavy SI, občas se s ní setkáte. Jedna kalorie je definována (přibližně) jako teplo potřebné k ohřátí 1 gramu vody o 1 °C. Proto platí: 1 cal = 4,2 J. Více o souvislosti tepla a práce se dočtete v kapitole 12.

Teď ještě vyřešíme jeden důležitý příklad. Probíhá-li tepelná výměna pouze mezi dvěma tělesy (neuvažujeme vliv okolí), teplo odevzdané teplejším tělesem je stejně velké jako teplo přijaté chladnějším tělesem. Zároveň víme, že výsledná teplota obou těles v rovnovážném stavu musí být shodná.

Příklad 5

Při přípravě čaje nalijeme 2,0 dl vařící vody do keramického hrníčku o hmotnosti 140 g s měrnou tepelnou kapacitou 960 J ⋅ kg⁻¹ ⋅ K⁻¹. Jaká bude výsledná teplota? Ztráty tepla do okolí neuvažujte.

Řešení:

V zadání úlohy nemáme přesné informace o počáteční teplotě vody a hrníčku. Úlohu proto můžeme vyřešit pouze přibližně. Odhadneme, že vařící voda měla \(t_\mathrm{V}= 100\ ^\circ\mathrm{C}\), zatímco hrníček měl pokojovou teplotu cca \(t_\mathrm{H}=20\ ^\circ\mathrm{C}\). Výslednou teplotu označíme \(t\), hmotnost hrníčku \(m_\mathrm{H}=0{,}14\ \mathrm{kg}\) a hmotnost vody \(m_\mathrm{V}=0{,}2\ \mathrm{kg}\). Voda odevzdává teplo hrníčku, což můžeme zapsat rovnicí \(Q_\mathrm{V} = Q_\mathrm{H}\) (budeme uvažovat obě tepla s kladným znaménkem).

\[m_\mathrm{V}c_\mathrm{V}(t_\mathrm{V}-t) = m_\mathrm{H}c_\mathrm{H}(t-t_\mathrm{H})\]

Neznámá \(t\) je v rovnici dvakrát, proto je třeba roznásobit závorky a dál postupovat v úpravě rovnice

\[ \begin{aligned} m_\mathrm{V}c_\mathrm{V}t_\mathrm{V} - m_\mathrm{V}c_\mathrm{V}t &= m_\mathrm{H}c_\mathrm{H}t - m_\mathrm{H}c_\mathrm{H}t_\mathrm{H}\\ m_\mathrm{V}c_\mathrm{V}t_\mathrm{V} + m_\mathrm{H}c_\mathrm{H}t_\mathrm{H} &= m_\mathrm{H}c_\mathrm{H}t + m_\mathrm{V}c_\mathrm{V}t\\ m_\mathrm{V}c_\mathrm{V}t_\mathrm{V} + m_\mathrm{H}c_\mathrm{H}t_\mathrm{H} &= (m_\mathrm{H}c_\mathrm{H} + m_\mathrm{V}c_\mathrm{V})t\\ t &= \frac{m_\mathrm{V}c_\mathrm{V}t_\mathrm{V} + m_\mathrm{H}c_\mathrm{H}t_\mathrm{H}}{m_\mathrm{V}c_\mathrm{V}+m_\mathrm{H}c_\mathrm{H}}\\ \end{aligned} \]

V tomto místě je možné udělat rozměrovou zkoušku. Nakonec můžeme dosadit číselné hodnoty a vyjde nám \(t=89\ ^\circ\mathrm{C}\).

Příklad 6

Ve vaně je 60 litrů vody o teplotě 45 °C. Kolik litrů studené vody o teplotě 12 °C musíme přilít, abychom dosáhli výsledné teploty 38 °C? Ztráty tepla do okolí neuvažujte.

Řešení:

Jako neznámá zde vystupuje hmotnost studené vody \(m_\mathrm{S}\) o známé teplotě \(t_\mathrm{S}=12\ ^\circ\mathrm{C}\). Horké vody je \(m_\mathrm{H}=60\ \mathrm{kg}\) a má teplotu \(t_\mathrm{H}=45\ ^\circ\mathrm{C}\). Výsledná teplota je \(t=38\ ^\circ\mathrm{C}\). Odevzdané teplo se rovná přijatému: \(Q_\mathrm{H}=Q_\mathrm{S}\) (budeme uvažovat obě tepla s kladným znaménkem).

\[ m_\mathrm{H}c(t_\mathrm{H} - t) = m_\mathrm{S}c(t-t_\mathrm{S}) \]

Odtud

\[ m_\mathrm{S} = \frac{m_\mathrm{H}(t_\mathrm{H}-t)}{t-t_\mathrm{S}} \]

V tomto místě je možné udělat rozměrovou zkoušku. Nakonec můžeme dosadit číselné hodnoty a vyjde nám \(m_\mathrm{S}=16\ \mathrm{kg}\). Musíme přilít cca 16 l studené vody.

Mechanismy přenosu vnitřní energie

Pokud se teplé těleso dotýká studeného, dochází k přenosu tepla díky nárazům částic – tento proces nazýváme vedení tepla. Teplo je ale možné předávat i na dálku – prostřednictvím elektromagnetického záření. Díky tomu může například Slunce ohřívat Zemi, přestože je odděluje 150 milionů kilometrů prázdného prostoru. V přírodě i v technice má velký význam ještě jeden způsob ohřívání či chlazení těles a tím je proudění. Při proudění se energie transportuje spolu s látkou, například horká voda z kotle přináší teplo potrubím do radiátoru v místnosti. Pojďme se na jednotlivé mechanismy podívat podrobněji.

Vedení tepla

Vedení tepla je prakticky důležité u pevných látek, neboť v kapalinách a plynech má větší význam proudění. Látky, které dobře vedou teplo, se nazývají tepelné vodiče a jsou to zejména kovy. Naopak látky se špatnou tepelnou vodivostí se nazývají tepelné izolanty a jsou to především plyny (kvůli velkým vzdálenostem mezi částicemi). Dokonalý tepelný izolant je vakuum. Aby látka mohla prakticky sloužit jako tepelný izolant, musíme plynu zabránit v proudění. Proto se jako tepelné izolanty používají porézní materiály s velkým obsahem vzduchu uzavřeného v malých oblastech (peří, vata, dřevo, pěnový polystyren…).

Vedení tepla můžeme popsat také kvantitativně. Představme si desku plochy \(S\) a tloušťky \(d\), kdy na opačných koncích desky je udržován teplotní rozdíl \(\Delta T\) (viz obrázek). Pak za čas \(t\) projde deskou teplo

Zkušeného fyzika nepřekvapí, že konstanta úměrnosti \(\lambda\) je vlastnost materiálu. Nazývá se koeficient tepelné vodivosti s jednotkou W ⋅ m⁻¹ ⋅ K⁻¹.

Tepelná vodivost v praxi

Příklad 7

Stěny starého domu mají tloušťku 0,5 m, plochu 108 m² a jsou postaveny z cihel (\(\lambda = 0,6\ \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}\)).

Vypočítejte, kolik tepla projde zdmi za 24 hodin při venkovní teplotě −5 °C a vnitřní teplotě 25 °C.

Řešení:

V tomto příkladu stačí jen dosadit do vzorce hodnoty ve správných jednotkách:

\[ Q = \frac{\lambda St\cdot \Delta T}{d} = \frac{0{,}6\cdot108\cdot(24\cdot3600)\cdot30}{0{,}5}\ \mathrm{J} = 340\ \mathrm{MJ} \]

To odpovídá výkonu topení \(P=Q/t=3{,}9\ \mathrm{kW}\).

Proudění

Proudění je převažující způsob přenosu tepla u kapalin a plynů. Proudění může vnikat uměle, například pomocí čerpadla, které pohání vodu v trubkách ústředního topení. V přírodě se často setkáváme s tím, že proudění vzniká samovolně. Dobře si to můžete představit na příkladu hořící svíčky (viz obrázek). Podobně vznikají také vzdušné a mořské proudy, které transportují teplo od rovníku směrem k pólům a rozhodují do velké míry o tom, jaké bude počasí.

Příklad 8

Golfský proud transportuje řádově 10⁸ m³ vody za sekundu. U mysu Hatteras v USA, kde se proud odděluje od Amerického pobřeží, je teplotní rozdíl oproti okolní vodě asi 3° C. Určete řádově, kolik tepla transportuje Golfský proud za jeden den.

Řešení:

Začneme výpočtem hmotnosti transportované vody za den (1 den = 86 400 s):

\[ m = 10^8\ \mathrm{m}^3 \cdot 1000\ \mathrm{kg/m}^3 \cdot 86\,400\ \mathrm{s} = 8{,}6\cdot10^{15}\ \mathrm{kg} \]

Dále uvažme, že vodu v proudu bylo potřeba ohřát o 3° C vůči okolní vodě. Celkové teplo přepravené za jeden den je pak \(Q=mc\cdot\Delta t=10^{20}\ \mathrm{J}\). Pro představu: to odpovídá celosvětové roční produkci elektrické energie.

Proudění

Záření

Záření nebo také sálání je jev, kterého si všimneme především u velmi horkých těles, jako jsou Slunce či rozpálená kamna. Intenzita vyzařování totiž velmi silně roste s teplotou tělesa. Záření vzniká jako důsledek chaotického pohybu atomů a molekul, proto se mu někdy říká tepelné záření. Přesněji řečeno jde o elektromagnetické záření (podrobněji se o něm dočtete ve 26. kapitole). Na tomto místě si vystačíme s poznatkem, že těleso se může pomocí záření zahřívat (na povrch Země během dne dopadá Sluneční záření), anebo ochlazovat (povrch Země během noci vyzařuje do vesmíru). Bude-li těleso v prostředí o stejné teplotě, jako je teplota tělesa, bude přijaté a vyzářené teplo stejné. V praxi musíme dávat pozor na to, že kovové povrchy mohou tepelné záření částečně odrážet, například hliníková fólie dobře odráží tepelné záření, proto se používá jako tepelná ochrana (viz obrázek). Naopak obyčejné sklo je pro tepelné záření neprůhledné.

Změny skupenství

Co se děje s látkou při změně skupenství?

Přemýšleli jste někdy nad tím, proč se mají těstoviny připravovat ve vroucí vodě po určitou dobu? Jaký je zde fyzikální význam varu? Je to prosté: samotný var je z hlediska přípravy potravin zcela nepodstatný. Var nám v hrnci pouze zajišťuje stálou teplotu, která určuje dobu přípravy. Voda začne vařit při necelých 100 °C, a přestože je dál ohřívána na sporáku, tak její teplota již neroste. Veškeré dodávané teplo se spotřebuje na změnu skupenství – tedy uvolnění molekul vody z jejich vazeb. Je třeba dodat, že teplota varu závisí na tlaku vzduchu, který klesá s nadmořskou výškou, jak vidíme v tabulce. Ve větších nadmořských výškách je proto potřeba dobu přípravy patřičně prodloužit.

Prozkoumejme nyní podrobněji, co se při změnách skupenství s látkami děje. Pro krystalické látky je typická přesně definovaná teplota tání a teplota varu. Jak jsme ale viděli na příkladu vody, mohou tyto teploty záviset také na tlaku. Z toho vyplývá, že skupenství určité látky je dáno teplotou a tlakem. Chování dané látky za všech možných tlaků a teplot pak můžeme shrnout do grafu; nazývá se fázový diagram.

V diagramu vidíme, že voda za atmosférického tlaku se může vyskytovat v kapalném skupenství v rozumném rozsahu teplot. Snižováním tlaku se prostor pro kapalnou vodu postupně zužuje. Až při tlaku 612 Pa dojde ke splynutí teploty tání a varu. Tento bod, určený teplotou a tlakem, kdy se látka vyskytuje v rovnovážném stavu ve všech třech skupenstvích, nazýváme trojný bod.

Kontrolní otázka

Oxid uhličitý je nám známý jako plyn. Jeho trojný bod je určen teplotou 217 K a tlakem 5,3 ⋅ 10⁵ Pa. V jakých skupenstvích se může oxid uhličitý nacházet za běžného atmosférického tlaku (10⁵ Pa)? Vyberte všechny správné možnosti.

pevné
kapalné
plynné

Odeslat  

Se změnami skupenství je to ještě trochu složitější, než jsme uvedli výše. Kapalná látka se může vypařovat i při nižších teplotách, než je teplota varu. Voda z jezer a moří se vypařuje, prádlo schne a také sníh a led může v atmosféře sublimovat (přecházet z pevného přímo do plynného skupenství). K vysvětlení těchto jevů nám opět poslouží atomová hypotéza. Zatímco při varu dochází k „hromadnému“ přerušování vazeb mezi molekulami v celém objemu kapaliny, při vypařování nastává uvolňování vazeb jen na povrchu kapaliny. S rostoucí teplotou látky se zvyšuje pravděpodobnost, že náhodnými srážkami získají některé molekuly dostatečnou energii k přerušení vazeb. Změny skupenství vody v atmosféře jsou podstatné v meteorologii, proto se o nich můžete dočíst více v kapitole 11.

Změny skupenství

Změny vnitřní energie při změnách skupenství

Při tání nebo vypařování je třeba přerušit vazby mezi atomy (molekulami). Při opačných dějích (tuhnutí a kondenzaci) se naopak vazby vytvářejí. Fyzikálně to můžeme popsat tak, že při změně skupenství dochází ke změně vnitřní potenciální energie. To znamená, že například při tání dodáváme látce teplo, aniž se zvětšuje vnitřní kinetická energie, a tedy i její teplota. Naopak při tuhnutí látka teplo odevzdává, aniž se přitom ochlazuje. Změnu vnitřní potenciální energie spojenou se změnou skupenství dané látky nazýváme zkráceně skupenské teplo \(L\). Podobně jako teplo závisí skupenské teplo na množství látky. Proto se jako charakteristika dané látky používá měrné skupenské teplo \(l\). Platí:

Dobrou představu o změnách energie při změnách skupenství nám poskytne naše oblíbená voda.

Příklad 1

Porovnejte skupenské teplo vody z tabulky s teplem potřebným k ohřátí 1 kg vody o 100 °C.

Řešení:

\(Q= mc\cdot\Delta t = 1\cdot4180\cdot100\ \mathrm{J} = 418\ \mathrm{kJ}\).

Teplo potřebné k vypaření vody je skoro pětkrát větší než teplo potřebné k jejímu ohřátí z 0 °C na 100 °C!

Hodnoty měrného skupenského tepla pro konkrétní látky je možné vyhledat nebo změřit (můžete si to vyzkoušet v praktickém cvičení). Skupenské teplo hraje důležitou roli v mnoha přírodních procesech. Více se o tom dozvíte v galerii a příkladech.

Příklad 2

V extrémních podmínkách, například v poušti při nízké vlhkosti vzduchu, může člověk vypotit kolem jednoho litru vody za hodinu. Určete výkon takového ochlazování.

Řešení:

Výkon ochlazování určíme jako podíl odebrané energie a času: \(P=L/t=ml/t=630\ \mathrm{W}\).

Poznámka: Měrné skupenské teplo vypařování závisí na teplotě, při které k němu dochází. Je vždy o něco větší než odpovídající skupenské teplo varu. Rozdíl je však poměrně malý (do 10 %) a v tomto příkladu nehraje velkou roli.

Příklad 3

První elektrické ledničky dorazily do našich domácností teprve ve dvacátých letech 20. století. Předtím se potraviny chladily pomocí ledu.

1. Popište a vysvětlete, jak efektivně realizovat takové chlazení potravin pomocí ledu.
2. Vypočítejte, kolik tepla dokáže odebrat ze svého okolí 1 m³ ledu, aniž se změní jeho teplota.

Řešení:

a) V zimě nasbíráme v přírodě velké kusy ledu. Ty umístíme do dobře tepelně izolované místnosti. Led bude postupně tát a přitom odebírat teplo z okolí, aniž se zvětší jeho teplota, která bude stále 0 °C.

b) \(L=ml=\varrho Vl = 917\ \mathrm{kg/m}^3\cdot 1\ \mathrm{m}^3 \cdot 334\,000\ \mathrm{J/kg/K} = 306\ \mathrm{MJ}\).

Na závěr jsme si nechali nejtěžší typ úlohy. Podobně jako u tepelné výměny, musí i při změnách skupenství platit, že celková energetická bilance v izolované soustavě je nulová.

Příklad 4

V kelímku jsou 3 dl vody o teplotě 15 °C. Do nádoby hodíme kostku ledu o hmotnosti 50 g a teplotě −5 °C. Určete výslednou teplotu vody v kelímku. Tepelnou kapacitu kelímku a ztráty tepla do okolí neuvažujte.

Řešení:

V příkladu postupujeme obdobně jako při výpočtu tepelné výměny. Kromě tepla však musíme uvažovat ještě skupenské teplo. Další neznámou je výsledný stav soustavy. V principu jsou dvě možnosti:

1. Všechen led roztaje a z něj vzniklá voda se bude ohřívat. Výsledná teplota bude nad nulou.
2. Teplo odevzdané vodou nebude stačit na roztátí veškerého ledu. Výsledná teplota bude 0 °C a určitá část ledu zůstane v pevném skupenství.

O tom, která varianta nastane, rozhodneme porovnáním tepla, které může odevzdat voda, a tepla, které může přijmout led.

Voda se ochlazuje na 0 °C: \(Q_\mathrm{V} = m_\mathrm{V}c_\mathrm{V}\Delta t_\mathrm{V} = 0{,}3\ \mathrm{kg}\cdot 4180\ \mathrm{J/kg/K}\cdot (15-0)\ \mathrm{K}= 18\,810\ \mathrm{J}\).

Led se ohřívá na 0 °C: \(Q_\mathrm{L} = m_\mathrm{L}c_\mathrm{L}\Delta t_\mathrm{L} = 0{,}05 \cdot 2050 \cdot (0-(-5))\ \mathrm{J} = 512\ \mathrm{J}\).

Led taje: \(L = m_\mathrm{L}l = 0{,}05\ \mathrm{kg}\cdot 334\,000\ \mathrm{J/kg} = 16\,700\ \mathrm{J}\).

Máme \(Q_\mathrm{V} > Q_\mathrm{L} + L\). To znamená, že všechen led roztaje. Můžeme zapsat celkovou tepelnou bilanci už s neznámou výslednou teplotou \(t\) (teplotu tání 0 °C označíme jako \(t_0\)):

\[ m_\mathrm{V}c_\mathrm{V}(t_\mathrm{V} - t) = m_\mathrm{L}c_\mathrm{L}(t_0 - t_\mathrm{L}) + m_\mathrm{L}l + m_\mathrm{L}c_\mathrm{V}(t - t_0) \]

(Všimněte si posledního členu – voda vzniklá z ledu se ohřívá z 0 °C na \(t\).)

Vzhledem k velkému množství veličin volíme v tomto případě dosazení čísel do rovnice. Po dosazení a úpravě nám vyjde \(t=1\ ^\circ\mathrm{C}\).