Vysvětlete pojmy:

1. neutron, nukleon, nuklid,
2. molekula, atom, částice, prvek, izotop.

Z jakých a kolika částic se skládá:

1. atom platiny \({}^{195}_{\hphantom{0}78}\mathrm{Pt}\),
2. měďnatý ion \({}^{65}_{29}\mathrm{Cu}^{2+}\)?

Uvažujme stabilní atom helia \({}^4_2\mathrm{He}\).

1. Vypočítejte poměr hmotností jádra a obalu.
2. Kdyby bylo jádro helia velké jako pomeranč, jak velký by byl elektronový obal?
3. Kdyby bylo jádro helia těžké jako pomeranč, jak těžký by byl elektronový obal?

Auto má klidovou hmotnost 1 550 kg. Vypočítejte:

1. jeho klidovou energii,
2. jeho kinetickou energii při rychlosti 130 km/h,
3. odpovídající změnu hmotnosti.

Proč nepozorujeme nárůst hmotnosti auta při pohybu?

Porovnejte klidovou energii jednoho litru benzínu a energii uvolněnou jeho spálením. Hustota benzínu je 750 kg/m³, jeho spalné teplo 47,3 MJ/kg.

Vypočítejte vazebnou energii připadající na jeden nukleon jádra

1. uhlíku \({}^{12}_{\hphantom{0}6}\mathrm{C}\),
2. uranu \({}^{238}_{\hphantom{0}92}\mathrm{U}\).

Zadané hodnoty:

hmotnost atomu \({}^{12}_{\hphantom{0}6}\mathrm{C}\) je \(m_\mathrm{C}=12{,}000\ \mathrm{u}\).

hmotnost atomu \({}^{238}_{\hphantom{0}92}\mathrm{U}\) je \(m_\mathrm{U}=238{,}0508\ \mathrm{u}\).

\(m_\mathrm{p} = 1{,}00728\ \mathrm{u}\), \(m_\mathrm{n} = 1{,}00866\ \mathrm{u}\), \(m_\mathrm{e} = 5{,}486\cdot10^{-4}\ \mathrm{u}\).

Vazebná energie připadající na jeden nukleon má v případě uranu \({}^{235}\mathrm{U}\) hodnotu 7,591 MeV. V jaderném reaktoru se toto jádro rozštěpilo na xenon \({}^{139}\mathrm{Xe}\) o vazebné energii 8,312 MeV na jeden nukleon a na stroncium \({}^{95}\mathrm{Sr}\) o vazebné energii 8,549 MeV na jeden nukleon. Vypočítejte:

1. energii uvolněnou při rozštěpení jednoho jádra uranu,
2. kolik procent z vazebné energie jádra uranu se štěpením uvolnilo.

S využitím periodické tabulky prvků doplňte zápis jaderných reakcí.

\[\begin{aligned} {}^{234}_{\hphantom{0}92}\mathrm{U} &\to \dots + {}^4_2\mathrm{He}\\ \dots &\to {}^{36}_{18}\dots + {}^{\hphantom{-}0}_{-1}\mathrm{e} + \dots\\ {}^{\dots}_{16}\mathrm{S} &\to {}^{30}_{\dots}\dots + {}^0_1\mathrm{e} + \dots\\ \dots &\to {}^{206}_{\hphantom{0}82}\mathrm{Pb} + \gamma\\ \end{aligned}\]

Proč je zemská kůra radioaktivní.

Oblasti zemské kůry, které obsahují uran, vykazují zvýšenou radioaktivitu. Samotný uran je α zářič a přeměňuje se na thorium, které je rovněž radioaktivní, a produkty jeho přeměny jsou opět radioaktivní. V podloží tak vzniká celá řada radioaktivních látek, které přispívají k jeho aktivitě. Tato rozpadová řada končí stabilním olovem. S pomocí následujícího schématu uran-radiové řady a periodické tabulky prvků zjistěte, jaké radioaktivní látky se v podloží vyskytují. Produkt určité přeměny je vždy reaktantem přeměny následující.

\[ {}^{238}_{\hphantom{0}92}\mathrm{Th} \stackrel{\alpha}{\longrightarrow} {}^{\dots}_{\dots}\mathrm{Th} \stackrel{\beta^-}{\longrightarrow} \dots \stackrel{\beta^-}{\longrightarrow} \dots \stackrel{\alpha-}{\longrightarrow} \dots \stackrel{\alpha-}{\longrightarrow} \dots \stackrel{\alpha-}{\longrightarrow} \dots \stackrel{\alpha-}{\longrightarrow} \dots \stackrel{\alpha-}{\longrightarrow} \dots \stackrel{\beta^-}{\longrightarrow} \dots \stackrel{\beta^-}{\longrightarrow} \dots \stackrel{\alpha-}{\longrightarrow} \dots \stackrel{\beta^-}{\longrightarrow} \dots \stackrel{\beta^-}{\longrightarrow} \dots \stackrel{\alpha-}{\longrightarrow} {}^{206}_{\hphantom{0}82}\mathrm{Pb} \]

Polonium \(^{210}_{\hphantom{0}84}\mathrm{Po}\) je α zářič a přeměňuje se na olovo.

1. Napište rovnici přeměny.
2. Vypočítejte v MeV energii uvolněnou při přeměně jednoho jádra polonia.

Hmotnosti jednotlivých jader:

\[\begin{aligned} m_\mathrm{Po} &= 209{,}9367\ \mathrm{u}\\ m_\mathrm{Pb} &= 205{,}9295\ \mathrm{u}\\ m_\mathrm{He} &= 4{,}0015\ \mathrm{u}\\ \end{aligned}\]

Tritium \({}^3_1\mathrm{H}\) je v přírodě velmi vzácný radioaktivní izotop vodíku. Lze jej vyrábět ozařováním kovového lithia a v malém množství vzniká záchytem neutronů ve vodíku při běžném provozu jaderných reaktorů. Tritium je zářič \(\beta ^ - \).

1. Napište rovnici přeměny.
2. Vypočítejte hmotnosti jader tritia a helia.
3. Vypočítejte energii v keV uvolněnou při přeměně jednoho jádra tritia. Klidovou energii neutrin zanedbejte.

Zadané hodnoty:

• hmotnost atomu tritia \(m_\mathrm{T}=3{,}0140493\ \mathrm{u}\)
• hmotnost vzniklého atomu helia \(m_\mathrm{He}=3{,}0160293\ \mathrm{u}\)
• hmotnost elektronu \(m_\mathrm{e}=5{,}486\cdot10^{-4}\ \mathrm{u}\)

Poločas přeměny izotopu polonia \({}^{221}\mathrm{Po}\) je 25 s. Předpokládejme, že v čase \(t=0\ \mathrm{s}\) obsahuje vzorek 200 miliard jader \({}^{221}\mathrm{Po}\). Kolik radioaktivních jader polonia bude ve vzorku v čase

1. t = 25 s,
2. t = 50 s,
3. t = 100 s,
4. t = 500 s.

Radon ve stavebnictví.

Radon je radioaktivní plyn vznikající postupným rozpadem uranu. Štěrbinami v podloží je komínovým efektem nasáván k povrchu země. Protože jde o těžké atomy (nejtěžší z inertních plynů, sedmkrát těžší než molekula O₂), má tendenci se hromadit ve sklepních místnostech. V pobytových prostorech novostaveb nesmí aktivita radonu překročit 200 Bq/m³. Poločas rozpadu izotopu \({}^{222}\mathrm{Rn}\) je 3,82 dní. Vypočítejte:

1. hmotnost v kg jednoho atomu radonu,
2. konstantu radioaktivní přeměny,
3. počet atomů radonu v 1 m³ odpovídající limitní hodnotě aktivity.

Další praktické informace najdete na stránkách Státního ústavu radiační ochrany.

Jak dlouho bude aktivní vyhořelé jaderné palivo?

Vyhořelé palivo z jaderných elektráren obsahuje cesium \({}^{137}\mathrm{Cs}\) a stroncium \({}^{90}\mathrm{Sr}\) s poločasem přeměny 30,0 let. Vypočítejte:

1. konstantu radioaktivní přeměny,
2. aktivitu vzorku obsahujícího jeden gram čistého \({}^{137}\mathrm{Cs}\),
3. o kolik procent se sníží aktivita tohto vzorku za 100 let,
4. za jak dlouho poklesne aktivita tohoto vzorku na hodnotu 50 kBq, což je přirozená aktivita jednoho gramu uranu v podloží.

Kdy je vyhořelé palivo nejnebezpečnější? Bude vyhořelé palivo zářit ještě 10 000 let, jak občas slyšíme v médiích? Zkuste to spočítat. Argumentujte.

K určení stáří nalezeného dřevěného hudebního nástroje využili archeologové radiouhlíkovou metodu. Aktivita historického vzorku byla o 26,5 % nižší než aktivita stejně velkého vzorku dřeva ze současnosti. Poločas rozpadu uhlíku 14 je 5 730 let. Určete stáří nástroje. Mohl patřit slavnému Pythagorovi ze Samu?

Určování stáří Země

Stáří Země je přibližně 4,54 miliardy let s nepřesností jeho určení ±70 milionů let. Toto číslo je kompromisem mezi věkem nejstaršího minerálu nalezeného na Zemi – zirkonu z Jack Hills v Austrálii a astrofyziky odhadovaného věku sluneční soustavy.

Čistý zirkon (ZrSiO₄ – křemičitan zirkoničitý) je minerál, který vzniká krystalizací při tuhnutí roztavené horniny, například žuly. Během procesu krystalizace mohou být některé atomy zirkonia nahrazeny uranem. Totéž se nedá říci o olovu – v době vzniku krystalu neobsahuje zirkon žádné olovo.

Uran je radioaktivní a přes řadu meziproduktů se přeměňuje na stabilní olovo. Poločas rozpadu samotného uranu 238 je 4,47 ⋅ 10⁹ let, o mnoho řádů vyšší než poločas rozpadu ostatních meziproduktů. Proto čas potřebný k přeměně těchto meziproduktů zanedbáme.

Na hmotnostním spektrometru bylo zjištěno, že v australském zirkonu připadá na 51 jader uranu právě 50 jader olova. Vypočítejte stáří tohoto vzorku.

Elektrický náboj a někdy i hmotnost částic ionizujícího záření můžeme zjistit pomocí jejich pohybu v magnetickém poli. Předpokládejme, že na obrázku 27.37 je magnetické pole homogenní. Která křivka odpovídá

1. α záření,
2. β⁻ záření,
3. β⁺ záření,
4. γ záření,
5. proudu neutronů?

V reaktoru jaderné elektrárny se používá jako palivo obohacený uran obsahující 3 % štěpitelného izotopu 235 a 97 % izotopu 238, který se neštěpí.

1. Po zachycení pomalého neutronu se jádro uranu 235 rozštěpilo následujícím způsobem:

   \[{}^{235}_{\hphantom{0}92}\mathrm{U} + {}^1_0\mathrm{n} \stackrel{\mathrm{stepeni}}{\longrightarrow} {}^{90}_{36}\mathrm{Kr} + {}^{142}_{\hphantom{00}a}\mathrm{Ba} + b\,{}^1_0\mathrm{n} \]
   1. Které fyzikální veličiny se během této reakce zachovávají?
   2. Určete a a b.
   3. Vede štěpení jader uranu v reaktoru vždy ke vzniku kryptonu a barya?

2. Při štěpné reakci se uvolňuje energie.

   1. Odkud se bere tato uvolněná energie?
   2. Vypočítejte uvolněnou energii při reakci v otázce 1). Výsledek vyjádřete v MeV.
   3. Kolik energie v joulech by se tímto štěpením uvolnilo z jednoho molu jader uranu 235?

3. Předpokládejme, že při rozštěpení jednoho jádra uranu 235 se uvolní v průměru energie 180 MeV. Třicet procent této energie se následně přemění na energii elektrickou.

   1. Elektrárna má elektrický výkon 2 040 MW. Kolik štěpných reakcí proběhne za sekundu?
   2. Vypočítejte, kolik kilogramů uranu 235 je v této elektrárně spotřebováno za jeden den.

4. Jádro uranu 238 se zachycením některého z uvolněných neutronů stává radioaktivním. Poločas jeho přeměny je 23,45 min. Za jak dlouho se rozpadne 95 % takto aktivovaných jader uranu?

Zadané hodnoty:

• hmotnost jádra uranu 235 \(m_\mathrm{U}=234{,}9935\ \mathrm{u}\)
• hmotnost jádra kryptonu 90 \(m_\mathrm{Kr}=89{,}8998\ \mathrm{u}\)
• hmotnost jádra barya 142 \(m_\mathrm{Ba}=141{,}8857\ \mathrm{u}\)
• hmotnost neutronu \(m_\mathrm{n}=1{,}00866\ \mathrm{u}\)
• atomová hmotnostní konstanta \(1\ \mathrm{u} = 1{,}660539\cdot10^{-27}\ \mathrm{kg}\)
• Avogadrova konstanta \(N_\mathrm{A}=6{,}022\cdot10^{23}\ \mathrm{mol}^{-1}\)
• elementární náboj \(e=1{,}602\cdot10^{-19}\ \mathrm{C}\)

Termojaderná syntéza – problémová úloha

Proton-protonový cyklus je jeden ze způsobů, jak ve hvězdách vzniká z vodíku helium. V tomto cvičení zjistíme, kolik energie se při tom uvolňuje, a výsledek srovnáme s prakticky využívanými zdroji energie.

1. Popis jednotlivých reakcí

   1. Podle obrázku 27.38 napište rovnice termojaderných reakcí, které při syntéze helia probíhají. U každé částice uveďte protonové a nukleonové číslo.

      \[\begin{aligned} {}^1_1\mathrm{H} + \dots &\to \dots + \dots + \dots\\ {}^2_1\mathrm{H} + \dots &\to \dots\\ {}^3_2\mathrm{He} + \dots &\to \dots + \dots\\ \end{aligned}\]

   2. Vypočítejte v MeV energii uvolněnou při každé z reakcí.

2. Bilance za celý cyklus

   1. Napište souhrnnou rovnici pro celý cyklus

      \[ 4\,{}^1_1\mathrm{H} \to \dots + 2\dots + 2\dots \]

   2. Vypočítejte energii uvolněnou při anihilaci pozitronů.

   3. Vypočítejte celkovou energii uvolněnou během jednoho cyklu.

3. Porovnání s uhlím

   1. Určete počet atomů v 1 kg vodíku.
   2. Vypočítejte energii, která se uvolní při přeměně 1 kg vodíku na helium.
   3. Kolikrát víc energie získáme při fúzi 1 kg vodíku oproti energii získané spálením 1 kg černého uhlí? Spalné teplo uhlí je 31,4 MJ/kg.
   4. Kdyby měl fúzní reaktor účinnost jen 10 % a dokázal přeměňovat vodík na helium podle výše popsaných reakcí, kolik palivového vodíku bychom potřebovali k zajištění roční spotřeby elektřiny v ČR (75 TWh)?

Zadané hodnoty:

• hmotnost protonu \(m_\mathrm{p}=1{,}007276\ \mathrm{u}\)
• hmotnost pozitronu a elektronu \(m_\mathrm{e}=5{,}486\cdot10^{-4}\ \mathrm{u}\)
• hmotnost jádra deuteria \({}^2_1\mathrm{H}\) \(m_2=2{,}01355\ \mathrm{u}\)
• hmotnost jádra helia \({}^3_2\mathrm{He}\) \(m_3=3{,}01493\ \mathrm{u}\)
• hmotnost jádra helia \({}^4_2\mathrm{He}\) \(m_4=4{,}00150\ \mathrm{u}\)
• hmotnost neutrina \(m_5=0\)
• atomová hmotnostní konstanta \(1\ \mathrm{u}=1{,}660539\cdot10^{-27}\ \mathrm{kg}\)
• Avogadrova konstanta \(N_\mathrm{A}=6{,}022\cdot10^{23}\ \mathrm{mol}^{-1}\)
• elementární náboj \(e=1{,}602\cdot10^{-19}\ \mathrm{C}\)