Je Země středem vesmíru?

Již od hlubokých prehistorických dob připisovali lidé velký význam nebeským tělesům a jejich pohybu na obloze. V pravidelnosti astronomických jevů, střídání ročních období, fází Měsíce, přeletech komet atd. spatřovali působení vyšších (božských) sil a bytostí. Tyto jevy měly i praktický význam při plánování zemědělských prací.

Počátky astronomie

První zmínky o astronomických pozorováních nacházíme v Číně, v Mezopotámii (zejména v Babylóně), v Egyptě a v Řecku. Mezi nejznámější starořecké astronomy patří učenci, o nichž jste pravděpodobně slyšeli již v jiných souvislostech: Thalés z Milétu, Pýthagorás ze Samu, Aristotelés, Hipparchos, Klaudios Ptolemaios. Vzhledem k tomu, že neměli téměř žádné astronomické vybavení – například dalekohled byl objeven až na přelomu 17. století – je fascinující, jak věrně dokázali jevy na obloze popsat a předvídat.

Starořímská civilizace a později evropský středověk přejímají Ptolemaiovu geocentrickou představu o uspořádání světa: ve středu vesmíru se nachází nehybná Země, kolem níž po kružnicích obíhají Měsíc a Slunce. Komplikovanější trajektorie planet při pozorování ze Země jsou vysvětlovány dodatečným pohybem po tzv. epicyklech.

Od roku 1543, kdy polský astronom Mikuláš Koperník publikuje své dílo De revolutionibus orbium coelestium (O obězích nebeských sfér), se mezi učenci postupně začíná prosazovat myšlenka heliocentrického uspořádání světa: středem vesmíru je Slunce, kolem něhož obíhají planety včetně Země. Ve své době čelila tato představa silnému odporu ze strany církve i mnoha vynikajících vzdělanců.

Nezastupitelnou roli v pochopení, jak Sluneční soustava ve skutečnosti „funguje“, má dánský astronom Tycho Brahe. Na observatoři Uranienborg na ostrově Hven, což je historicky první astronomická observatoř v západní Evropě, kterou pro něj nechal postavit dánský král Frederik II., prováděl v letech 1576–1597 pečlivá měření poloh planet. Ke sklonku života přijal pozvání císaře Rudolfa II., stal se jeho dvorním astronomem a na zámku v Benátkách nad Jizerou ve svých pozorováních pokračoval. Pochován je v kostele Panny Marie před Týnem na Staroměstském náměstí v Praze.

Na dvoře Rudolfa II. působil též německý matematik a astrolog Johannes Kepler. Na základě mimořádně systematických a pečlivě vedených Tychonových zápisků o měřeních Kepler po mnoho let propočítával trajektorie, rychlosti a oběžné doby pohybů planet, až dospěl k formulaci tří zákonů nesoucích dnes jeho jméno. Zajímavostí je, že Kepler sám trpěl krátkozrakostí a hvězdy patrně vůbec neviděl.

Keplerovy zákony pohybů planet ve Sluneční soustavě

Poznámka na okraj: Jak nakreslit elipsu

Elipsa patří mezi kuželosečky a studovat ji budete v matematice. Nakreslit si ji můžete velmi snadno, stačí upevnit konce provázku do ohnisek F a F', provázek pomocí hrotu tužky napnete a obtáhnete co největší obvod, který vám celková délka provázku „dovolí“.

Na trajektorii planety existují dva význačné body:

• P – perihelium čili přísluní – planeta je Slunci nejblíže, a
• A – afélium čili odsluní – planeta je od Slunce nejdále.

Pro trajektorii Země má hlavní poloosa a délku přibližně 150 milionů kilometrů. Tato délka se nazývá astronomická jednotka au, tedy přesně 1 au = 149 597 870,7 km. Výstřednost trajektorie Země je \(e=2\,500\,000\ \mathrm{km}\) čili vychýlení Slunce ze středu elipsy představuje jen 1,7 % délky hlavní poloosy.

Kružnice je speciálním případem elipsy s výstředností \(e=0\), kdy ohniska splývají s jejím středem. Z číselných údajů pro Zemi můžeme usoudit, že její trajektorie se jen velmi málo liší od kružnice, že tedy pohyb Země můžeme kruhovým pohybem v prvním přiblížení modelovat. Podobný závěr lze provést i pro ostatní planety Sluneční soustavy.

Průvodič planety je spojnice Slunce a dané planety. Je to vlastně polohový vektor planety \(\Vec{r}\) v heliocentrické vztažné soustavě. Druhý Keplerův zákon říká, že za určitou dobu (např. jeden měsíc) opíše průvodič vždy stejnou plochu. Z toho vyplývá, že na eliptické trajektorii se nemůže planeta pohybovat stále stejně rychle. Jak ukazuje následující obrázek, jsou-li plochy \(S_1\) a \(S_2\) opsané za stejný čas \(\Delta t\) stejné, musí se planeta v periheliu pohybovat rychleji než v aféliu, neboť za \(\Delta t\) urazí v okolí perihelia delší dráhu než za stejný čas v okolí afélia.

Znamená to tedy, že oběh planety vzdálenější od Slunce trvá déle než oběh planety bližší. Jak ukážeme v podkapitole Pohyb družic, konstanta v uvedeném zákoně závisí na hmotnosti centrálního tělesa (Slunce), a tedy tento zákon lze použít ke „zvážení“ onoho tělesa.

Příklad 1

Přímým pozorováním lze zjistit, že oběžná doba Marsu kolem Slunce je 687 dní. Určete jeho vzdálenost od Slunce.

Řešení:

Oběžnou dobu Marsu označíme symbolem \(T_\mathrm{M}\). Mars se pohybuje po eliptické trajektorii, jeho vzdálenost od Slunce se během pohybu mění. Jelikož je zploštění elipsy malé, bude délka jeho hlavní poloosy \(a_\mathrm{M}\) dobrým odhadem střední vzdálenosti od Slunce.

Podle třetího Keplerova zákona je podíl \(a^3/T^2\) konstantní a stejný pro všechny planety. Musí tedy být roven analogickému podílu pro Zemi

\[ \frac{a_\mathrm{M}^3}{T_\mathrm{M}^2} = \hbox{konst.} = \frac{a_\mathrm{Z}^3}{T_\mathrm{Z}^2} \]

Parametry oběhu Země známe: \(a_\mathrm{Z}=1\ \mathrm{au}\) a \(T_\mathrm{Z}=1\ \hbox{rok}=365\ \hbox{dní}\). Odtud po matematické úpravě dostáváme výsledek

\[ a_\mathrm{M} = \left(\frac{T_\mathrm{M}}{T_\mathrm{Z}}\right)^{2/3} a_\mathrm{Z} = \left(\frac{687\ \hbox{dní}}{365\ \hbox{dní}}\right)^{2/3}\cdot1\ \mathrm{AU} = 1{,}52\ \mathrm{au} = 2{,}27\cdot10^8\ \mathrm{km} \]

Poznámka na okraj: Pohyb planet z hlediska laboratorní vztažné soustavy

Pohyby planet jsou elegantně jednoduché z hlediska heliocentrické vztažné soustavy. Při pozorování planet z povrchu Země je jejich pohyb mnohem složitější:

1. Během noci planety vycházejí nad a zapadají pod horizont kvůli otáčení Země kolem její osy a náklonu této osy. Na obloze neopisují jednoduché trajektorie.
2. Kvůli vlastnímu pohybu Země kolem Slunce vykazují vnější planety zdánlivý retrográdní pohyb, tj. ve svém postupu na pozadí vzdálených hvězd se v určitý okamžik zastaví, pak určitou dobu couvají, než se opět dají do pohybu obvyklým směrem. Tato zvláštnost byla známa již v antice: samotné slovo planeta má původ v řeckém πλανήτης, což znamená tulák. Kvůli těmto „toulavým hvězdám“ musel Ptolemaios ve svém modelu uměle zavést epicykly.
3. Frankofonním čtenářům doporučujeme toto velice pěkně zpracované video o pohybech planet ve Sluneční soustavě: https://www.youtube.com/watch?v=0cOvmotwndE&t=1s. Retrográdní pohyb je vysvětlován od času 4:50.

Poznámka na okraj: Plošná rychlost planety

Hledáme matematické vyjádření druhého Keplerova zákona.

Situace je znázorněna na obrázku 17.15. Slunce se nachází v bodě O. Předpokládejme, že za čas \(\Delta t\) se planeta posune o vektor \(\Delta\Vec{r}\) z bodu A do bodu B. Opíše při tom plochu \(\Delta S\). Čím kratší bude interval \(\Delta t\), tím lépe můžeme nahradit oblouk AB úsečkou, a tím více se bude velikost plochy \(\Delta S\) blížit obsahu trojúhelníka OAB. Plochu tohoto trojúhelníka zapíšeme jako

\[ \Delta S = \frac{1}{2} r\cdot\Delta r_\bot = \frac{1}{2}r\cdot\Delta r\cdot\sin\alpha\;. \]

K ploše tohoto trojúhelníka se můžeme dobrat ještě elegantněji pomocí vektorového součinu

\[ \Delta S = |\Delta\Vec{S}| = \left|\frac{1}{2}\Vec{r}\times\Delta\Vec{r}\right| \]

Má tedy smysl definovat plošnou rychlost planety jakožto (orientovanou) plochu za čas předpisem

\[ \Vec{w} = \frac{\Delta\Vec{S}}{\Delta t} = \frac{\frac{1}{2}\Vec{r}\times\Delta\Vec{r}}{\Delta t} = \frac{1}{2}\Vec{r}\times\Vec{v} \]

Podle 2. Keplerova zákona je plošná rychlost planety \(\frac{1}{2}\Vec{r}\times\Vec{v}\) konstantní.

Poznámka na okraj: Poloha Slunce

Ve skutečnosti není Slunce v prostoru nijak fixované. S danou planetou obíhá kolem společného těžiště (v případě Slunce a Země leží toto těžiště uvnitř objemu Slunce). Průvodič planety je přesněji spojnice těžiště této dvoučásticové soustavy a dané planety. Situace se ještě více komplikuje přítomností dalších planet.

Výraznou ránu geocentrickému chápání světa zasadil italský učenec Galileo Galilei. V roce 1610 poprvé pomocí dalekohledu vlastní konstrukce spatřil Jupiterovy měsíce. Nejprve si myslel, že se jedná o hvězdy, ale záhy poznal, že se tato tělesa pohybují kolem Jupitera. V dalekohledu pozoroval také fáze Venuše – ano, podobně jako Slunce ozařuje polovinu povrchu Měsíce, i planeta Venuše je z poloviny osvícena slunečními paprsky, a při různých vzájemných polohách Slunce, Venuše a Země vidíme ze Země pokaždé jiný díl této osvětlené plochy. Tím prokázal, že existují nebeské objekty, které neobíhají kolem Země, a že tedy Země nemusí mít ve vesmíru výsadní postavení, nemusí být středem vesmíru.

Životní příběh Galilea Galileiho není jen o objevování fyzikálních poznatků, ale také zápasem mimořádného člověka o svobodu hledat pravdu a říkat ji nahlas.

Příklad 2

Co byste odpověděli člověku, který se vytasí s následujícím pohledem na věc?

„A proč by se Země měla pohybovat? Když si lehnu do trávy, země se ani nehne, žádný pohyb necítím. Vzduch mě jen zlehka ovívá, ale vím, že je to větrem, ten proudí kolem země a někdy je úplné bezvětří. Nějaký chlapík, co žil před čtyřmi sty lety? Kdo ví, co v dalekohledu vůbec viděl! Já cítím pevnou půdu pod nohama, ať mi nikdo nic nevykládá!“

Řešení:

Můžete jej v tom klidně nechat a neříkat mu nic. Bude žít šťastně až do smrti:)

1. Díky kožním receptorům tlaku, receptorům napětí ve svalech, šlachách a kloubních pouzdrech a zejména díky vestibulárnímu ústrojí vnitřního ucha vnímá člověk vše, co vyvolává tlaky a napětí v těle – například přítomnost gravitačního pole, zrychlování v autě, otřesy (což je nepravidelné zrychlování tam a zpět), proud větru kolem těla… Naopak klid a rovnoměrný přímočarý pohyb jsou nerozlišitelné. V začátcích železniční dopravy před dvěma sty lety se lidé obávali, jestli je velká rychlost 80 km/h při cestování nezabije. Ukazuje se, že rychlost samotná nikoli, ovšem velké zrychlení při nárazu do překážky ano.
2. Kolem Slunce se Země pohybuje s dostředivým zrychlením 6 ⋅ 10⁻³ m/s², které je 1650 krát menší než tíhové zrychlení \(g=9{,}81\ \mathrm{m/s}^2\). Obíhání je příliš slabý podnět, aby je tělo podrobené zemské gravitaci zaregistrovalo. Proto obíhání nemůžeme pocítit.
3. Přímo na Zemi pozorovatelný experimentální důkaz otáčení zeměkoule vymyslel a uskutečnil teprve v roce 1851 Léon Foucault. Přestože v 19. století byla rotace naší planety z nepřímých důkazů známa, způsobil velkou senzaci jak v odborných kruzích, tak u široké veřejnosti. Vysvětlení tohoto experimentu najdete ve 21. kapitole.

Navzdory experimentálním důkazům vám možná intuice říká, že k všeobecnému přijetí heliocentrického modelu zde ještě něco chybí. Ano, chybí tu uspokojivé vysvětlení, chybí pochopení, proč by uspořádání světa mělo vypadat tak, jak si je představoval Koperník. Zajímá vás, jak to je ve skutečnosti? Tak čtěte dál.

Newtonův gravitační zákon

Říká se, že Isaac Newton objevil gravitační zákon, když seděl pod stromem a na hlavu mu spadlo jablko. Představa hezká, leč hodně naivní – tak snadno fyzikální objevy nepřicházejí.

Je pravděpodobné, že během Newtonova pobytu na venkově, kam se uchýlil před epidemií moru, jej pozorování pádu jablka k úvahám o gravitaci inspirovalo. Za formulací gravitačního zákona a rozpracováním diferenciálního počtu se ve skutečnosti skrývají dva roky usilovné práce. Svoje objevy publikoval v roce 1687 v knize Principia Mathematica Philosophiae Naturalis. Toto dílo ovlivnilo na téměř tři sta let fyzikální chápání světa.

Co vlastně Newton objevil? Zjistil, že pohyby těles na Zemi se řídí stejnými zákony jako pohyby ve vesmíru. Zjistil, že volný pád jablka u povrchu Země má stejnou příčinu jako obíhání planet kolem Slunce, a tou příčinou je gravitační přitahování. Tím definitivně vyřešil spor předchozích generací, zda má Země ve vesmíru privilegované postavení, či nikoli.

Dvě tělesa o hmotnostech \(m_1\) a \(m_2\), jejichž těžiště se nacházejí ve vzdálenosti \(r\), se vzájemně přitahují gravitační silou \(\Vec{F}_\mathrm{g}\), jejíž velikost je dána Newtonovým gravitačním zákonem.

Podle třetího Newtonova pohybového zákona (zákon akce a reakce) jsou tyto gravitační síly stejně velké a opačně orientované.

Je třeba si všimnout, že gravitační síla je nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti.

Gravitační zákon v tomto tvaru platí pro kulově symetrická tělesa nebo tělesa, jejichž rozměry jsou zanedbatelné vzhledem k jejich vzdálenosti. Tyto předpoklady jsou výborně splněny pro pohyb planet ve Sluneční soustavě.

Velikost gravitační konstanty \(G\) nebyla za Newtonova života známa. První praktické měření provedl v roce 1798 Henry Cavendish. Gravitační konstanta \(G\) je jednou z univerzálních konstant vesmíru – kamkoli jsme se jako lidstvo dívali, všude měla stejnou hodnotu. Občas se gravitační konstanta chybně zaměňuje za tíhové zrychlení \(g\), které ovšem konstantou není, vysvětlení najdete v následující podkapitole Gravitační pole

Kontrolní otázka

Zvětší-li se vzdálenost těles na trojnásobek, gravitační síla

se nezmění
vzroste třikrát
vzroste šestkrát
zmenší se na třetinu
zmenší se na šestinu
zmenší se devětkrát

Odeslat  

Kontrolní otázka

Slunce má hmotnost 2 ⋅ 10³⁰ kg, hmotnost Země je 6 ⋅ 10²⁴ kg. Jejich vzdálenost je 1 au = 1,5 ⋅ 10¹¹ m. Gravitační síla, kterou se vzájemně přitahují, je

4 ⋅ 10²² N
4 ⋅ 10³³ N
4 ⋅ 10⁴⁴ N

Odeslat  

Kontrolní otázka

Cestující o hmotnostech 100 kg a 70 kg sedí v autě ve vzdálenosti přibližně 1 metr od sebe. Jak velkou gravitační silou se vzájemně přitahují? Proveďte řádový odhad.

1700 N
1000 N
700 N
5 ⋅ 10⁻⁷ N
1 ⋅ 10⁻⁸ N

Odeslat  

Dosazením do Newtonova gravitačního zákona získáme v tomto případě pouze přibližný odhad, protože lidské tělo nelze považovat ze kulově symetrické těleso. Všimněte si, že gravitační síla mezi pasažéry je o devět řádů menší než gravitační síla, kterou je přitahuje Země. Proto pasažér cítí pouze přitažlivost zemskou, gravitační přitahování jiných lidí je zanedbatelné.

Poznámka na okraj: Jak Cavendish změřil gravitační konstantu

K měření použil Cavendish tenkou tyčku, na jejichž koncích byly umístěny olověné kuličky o hmotnostech \(m=730\ \mathrm{g}\). Tyčka byla zavěšena vodorovně na tenkém vlákně a byla opatřena zrcátkem – viz obrázek 17.21. Ke kuličkám střídavě z jedné a z druhé strany přibližoval pomocí nezávislého otočného ramena masivní olověné koule o hmotnostech \(m=158\ \mathrm{kg}\). Paprsek světla odražený zrcátkem byl pozorován v dalekohledu a umožnil změřit jemné otočení závěsu. Z předem zjištěné tuhosti vlákna a parametrů aparatury pak lze dopočítat gravitační sílu mezi koulemi a z ní pak gravitační konstantu.

Jak velkou silou se přitahují olověné koule s hmotnostmi \(m\) a \(M\), jsou-li jejich těžiště ve vzdálenosti 18 cm?

Poznámka na okraj: Heuristická úvaha vedoucí ke gravitačnímu zákonu

Uvažujme obíhání planety o hmotnosti \(m\) kolem hvězdy o hmotnosti \(M\), \(m\ll M\). Počátek soustavy souřadnic leží ve středu hvězdy, zanedbáme působení okolních těles.

1. Podle 2. Keplerova zákona je plošná rychlost planety \(\Vec{w}=\frac{1}{2}\Vec{r}\times\Vec{v}\) konstantní, takže

   \[ \frac{\mathrm{d}\Vec{w}}{\mathrm{d}t} = \Vec{0} \]

   S využitím pravidla pro derivování součinu a vlastností vektorového součinu platí

   \[ \frac{\mathrm{d}\Vec{w}}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{d}\Vec{r}}{\mathrm{d}t}\times\Vec{v}+\Vec{r}\times\frac{\mathrm{d}\Vec{v}}{\mathrm{d}t}\right) = \frac{1}{2}(\Vec{v}\times\Vec{v}+\Vec{r}\times\Vec{a}) = \frac{1}{2}\Vec{r}\times\Vec{a} = \Vec{0}\;. \]

   Vektorový součin průvodiče \(\Vec{r}\) a zrychlení \(\Vec{a}\) je nulový, pokud jsou tyto vektory rovnoběžné. Zrychlení planety \(\Vec{a}\) tedy musí mít směr průvodiče \(\Vec{r}\). Zrychlení směřuje do středu zakřivení trajektorie, proto musí být vůči průvodiči opačně orientované.

2. Podle 2. Newtonova pohybového zákona platí obecně \(\sum_i\Vec{F}_i=m\Vec{a}\) čili v našem případě \(\Vec{F}_\mathrm{g}=m\Vec{a}\). Gravitační síla je tedy přímo úměrná hmotnosti planety a musí mít dostředivý směr, tj. směr spojnice hvězdy a planety.

3. 3. Keplerův zákon platí pro pohyb po elipse. Jelikož kružnice je speciálním případem elipsy, musí být splněn i pro kruhový pohyb:

   \[ \frac{r^3}{T^2} = \hbox{konst.} \quad\hbox{neboli}\quad T^2=\frac{r^3}{\hbox{konst.}}\;. \]

   Pro velikost dostředivého zrychlení při pohybu planety po kružnici můžeme psát

   \[ a_\mathrm{N} = \frac{v^2}{r} = \frac{\displaystyle\left(\frac{2\pi r}{T}\right)^{\!2}}{r} = \frac{4\pi^2r}{T^2} = \frac{4\pi^2r}{\displaystyle\;\frac{\strut r^3}{\hbox{konst.}}\;} = \hbox{konst.}\cdot\frac{4\pi^2}{r^2}\;. \]

   Velikost gravitační síly vypočítáme jako

   \[ F_\mathrm{g} = ma = m\cdot\hbox{konst.}\cdot\frac{4\pi^2}{r^2} = 4\pi^2\,\hbox{konst.}\cdot\frac{m}{r^2}\;. \]

   Konstantu v předchozím vztahu označíme \(K=4\pi^2\,\hbox{konst.}\), takže \(F_\mathrm{g}=Km/r^2\).

4. Jelikož je gravitační přitahování symetrické, musí gravitační síla \(F_\mathrm{g}\) záviset stejným způsobem na hmotnosti planety \(m\) i na hmotnosti hvězdy \(M\). Poněvadž je \(F_\mathrm{g}\) úměrné \(m\), lze uhodnout, že konstanta \(K\) je úměrná hmotnosti hvězdy \(K=GM\). Odtud nám vychází, že velikost gravitační síly musí být

   \[ F_\mathrm{g} = G\frac{mM}{r^2}\;. \]

Gravitační pole

Co je to pole?

Každý člověk si dokáže představit, že tělesa, která se dotýkají, na sebe mohou působit silami. Jak je to ale s působením na dálku? Copak jedno těleso může prázdným prostorem na dálku ovlivňovat jiná tělesa?

Lidé postupně pochopili, že tělesa svojí přítomností ovlivňují vlastnosti okolního prostoru – vytvářejí kolem sebe pole. Hmotná tělesa (všechna) vytvářejí pole gravitační, elektricky nabitá tělesa vytvářejí pole elektrické. Pokud se do takového pole dostane jiné těleso, bude na ně působit síla. Říkáme, že pole má silové účinky. Obecně vzato je pole jedním z projevů hmoty, odlišné od látky, zprostředkovávající působení mezi tělesy.

Jak vypadá gravitační pole?

Existuje několik způsobů, jak si představit gravitační pole. Nejjednodušší způsob je znázornění pomocí siločar. Siločára je křivka, která v každém místě ukazuje směr gravitační síly. Přesněji řečeno, vektor \(\Vec{F}_\mathrm{g}\) má v každém místě směr tečny k siločáře – viz obrázek 17.23. Hustota siločar pak udává, jak je pole silné.

V okolí sféricky symetrických těles, typicky v okolí planet a hvězd, se siločáry paprsčitě sbíhají. Takové pole nazýváme centrální.

Pokud studujeme mechanické pohyby jen v malé oblasti prostoru, například jen v objemu volejbalového hřiště u povrchu Země, můžeme siločáry gravitačního pole považovat za rovnoběžné. V tomto případě hovoříme o homogenním poli. Homogenní pole má ve všech místech stejné vlastnosti. Na dané těleso tedy bude v kterémkoliv místě působit síla stejné velikosti i směru.

Intenzita gravitačního pole

Gravitační pole můžeme elegantně znázornit také pomocí vektorů: do každého bodu pole umístíme vektor, který ukazuje směr gravitační síly, a jehož délka vyjadřuje, jak je pole v daném bodě silné. Odpovídající vektorová veličina se nazývá intenzita gravitačního pole a je definována vztahem

kde \(\Vec{F}_\mathrm{g}\) je gravitační síla působící na částici o hmotnosti \(m\), která se nachází v gravitačním poli.

Vektor \(\Vec{a}_\mathrm{g}\) popisuje gravitační pole: má směr tečny k siločáře a jeho velikost je rovna síle, kterou by gravitační pole působilo na těleso o hmotnosti 1 kg.

Vektor \(\Vec{a}_\mathrm{g}\) popisuje současně i pohyb tělesa v gravitačním poli: dělíme-li totiž sílu hmotností, dostáváme zrychlení. Tedy \(\Vec{a}_\mathrm{g}\) má význam gravitačního zrychlení, zrychlení, s jakým padají všechna tělesa v daném místě pole. Jeho jednotkou je m/s².

V případě centrálního pole vytvořeného tělesem o hmotnosti M z Newtonova gravitačního zákona snadno odvodíme vztah pro velikost gravitačního zrychlení:

Písmeno \(r\) v předchozím vzorci značí vzdálenost místa, ve kterém pole vyšetřujeme, od těžiště sférického tělesa.

Gravitační zrychlení \(\Vec{a}_\mathrm{gZ}\) na povrchu Země spočítáme snadno dosazením za hmotnost \(M=M_\mathrm{Z}=5{,}97\cdot10^{24}\ \mathrm{kg}\) a poloměr \(r=r_\mathrm{Z}=6{,}37\cdot10^3\ \mathrm{km}\):

V této hodnotě zajisté poznáváte tíhové zrychlení \(g\). Jaká je přesná souvislost mezi \(a_\mathrm{gZ}\) a \(g\), je vysvětleno v poznámce níže.

Ekvipotenciální plochy

Další způsob, jak znázornit gravitační pole, využívá ekvipotenciálních ploch. Říkáme jim též ekvipotenciální hladiny nebo ekvipotenciální čáry ve 2D. Určité těleso má ve všech místech ekvipotenciální plochy stejnou potenciální energii. Ekvipotenciální hladiny jsou kolmé na intenzitu pole \(\Vec{a}_\mathrm{g}\).

Poznámka na okraj: Potenciální energie tělesa v gravitačním poli

Potenciální energie tělesa v daném místě gravitačního pole je definována jakožto práce, kterou vykoná gravitační síla při přenesení tohoto tělesa z vybraného místa do předem zvoleného referenčního bodu. V případě centrálního pole se obvykle volí referenční bod v nekonečnu.

Z definice odvodíme vztah pro potenciální energii tělesa v centrálním gravitačním poli. Poněvadž se gravitační síla během cesty z \(r_0\) do nekonečna mění, musíme práci počítat integrálem:

\[\begin{aligned} E_\mathrm{P} &=W_\mathrm{g} = \int_{r_0}^{\infty} \Vec{F}_\mathrm{g}\cdot\mathrm{d}\Vec{r} = -\int_{r_0}^{\infty} F_\mathrm{g}\,\mathrm{d}r = -\int_{r_0}^{\infty} G\frac{mM}{r^2}\,\mathrm{d}r = -GmM\int_{r_0}^{\infty} \frac{1}{r^2}\,\mathrm{d}r\\ &= -GmM\left[-\frac{1}{r}\right]_0^{\infty} = -GmM\left[0-\left(-\frac{1}{r_0}\right)\right] = -G\frac{mM}{r_0}\\ \end{aligned}\]

Potenciální energie tělesa o hmotnosti \(m\) ve vzdálenosti \(r_0\) od středu tělesa hmotnosti \(M\), které pole vytváří, je tedy dána vztahem \(E_\mathrm{P}=-GmM/r_0\). Odtud plyne, že ekvipotenciální hladiny v centrálním poli jsou soustředné kulové plochy. Záporné znaménko vyjadřuje skutečnost, že částice \(m\) se nachází v potenciálové jámě. Pokud nemá dostatečnou kinetickou energii, je v gravitačním poli vázána, nemůže je opustit.

Studujeme-li pohyby jen v malé oblasti prostoru u povrchu Země, kde je gravitační pole téměř homogenní, volíme referenční bod na povrchu Země a gravitační sílu považujeme za konstantní. Potom

\[ E_\mathrm{P} = W_\mathrm{g} = F_\mathrm{g}h\cos(0) = G\frac{mM_\mathrm{Z}}{r_\mathrm{Z}^2}h = ma_\mathrm{gZ}h \simeq mhg\;. \]

Tíhová síla a tíhové zrychlení

Tíhová síla je gravitační síla u povrchu Země ovlivněná rotací Země. Je zvykem označovat gravitační sílu mezi libovolnými dvěma tělesy ve vesmíru symbolem \(\Vec{F}_\mathrm{g}\) a tíhovou sílu u povrchu planety symbolem \(\Vec{F}_\mathrm{G}\). Mnoho lidí tyto pojmy zaměňuje, protože v případě Země je mezi nimi jen opravdu malý rozdíl.

Pozorovatel fyzikálních dějů spojený s povrchem otáčející se Země tvoří, přísně vzato, neinerciální vztažnou soustavu. Kromě reálných sil, kterými na sebe tělesa skutečně působí, pozoruje i přítomnost setrvačných sil. Mezi tyto setrvačné síly patří i síla odstředivá \(\Vec{F}_\mathrm{od}\). Pozoruje tedy, že na všechna hmotná tělesa působí kromě gravitace i odstředivá síla vyvolaná rotací Země. Tíhová síla \(\Vec{F}_\mathrm{g}\) je výslednicí gravitační a odstředivé síly.

Tíhová síla definuje pro pozorovatele na Zemi svislý směr. Jednoduše řečeno, zavěsíme-li na povrchu Země těleso na provázek, má tíhová síla směr provázku. Tíhová síla je vždy kolmá na klidnou vodní hladinu v daném místě na Zemi. Když člověk stojí v klidu na váze, váha ukazuje velikost tíhové síly. Zatímco gravitační síla přitahuje tělesa přesně do středu Země, kvůli rotaci planety se zavěšená tělesa mírně vychýlí od osy otáčení (podobně jako se ze svislého směru vychýlí sedačky řetízkového kolotoče, když se kolotoč roztočí). V důsledku toho, s výjimkou pólů a rovníku, nesměřují svislé zdi domů přesně do středu Země, vodorovná hladina není přesně kolmá na spojnici daného místa a těžiště Země. Ve skutečnosti se ovšem Země otáčí pomalu, totiž s periodou 1 den, a výše popsaný efekt je hodně slabý. Odchylka směru tíhové síly od gravitační činí v ČR přibližně 0,1°, což při výpočtech můžeme směle zanedbat.

Poznamenejme, že otáčení naší planety má vliv i na její tvar. Zemský plášť je tekutý, na jeho povrchu se nachází relativně tenká zemská kůra. Klidná mořská hladina má v každém místě směr kolmý na \(\Vec{F}_\mathrm{G}\). Neuvažujeme-li suchozemský reliéf, má Země tvar rotačního elipsoidu, rovníkový poloměr je \(R_\mathrm{E}=6\,378\ \mathrm{km}\), ale poloměr měřený od pólů je o 21 km menší, totiž jen \(R_\mathrm{P}=6\,357\ \mathrm{km}\). K výpočtům se často používá střední poloměr Země \(R_\mathrm{Z}=6\,371\ \mathrm{km}\), což by byl poloměr koule o stejném objemu, jaký má Země ve skutečnosti.

Kontrolní otázka

Vyberte všechna správná tvrzení. Kdyby se Země neotáčela kolem svojí osy,

pozorovatel na povrchu by se nacházel ve stavu bez tíže,
pozorovatel na povrchu by se nacházel ve vakuu,
tíhová síla by byla totožná s gravitační silou,
pro těleso určité hmotnosti by tíhová síla byla větší na rovníku než na pólech,
pro těleso určité hmotnosti by tíhová síla byla větší na pólech než na rovníku.

Odeslat  

Kdyby se Země neotáčela, byla by odstředivá síla nulová. V tom případě by ovšem Země nebyla v důsledku rotace zploštělá na pólech, ale měla kulatý tvar (pomineme-li hornatý reliéf). Tíhová síla působící na určité těleso na povrchu by byla všude stejná.

Tíhové zrychlení \(\Vec{g}\) je definováno jako podíl tíhové síly \(\Vec{F}_\mathrm{G}\) a hmotnosti \(m\) tělesa, na nějž působí,

Tíhové zrychlení je tedy rovnoběžné se směrem tíhové síly a určuje, s jakým zrychlením budou, z hlediska pozorovatele na povrchu Země, volným pádem padat tělesa. Tíhové zrychlení není konstanta, neboť mírně závisí na nadmořské výšce a na zeměpisné šířce.

Kontrolní otázka

Zaškrtněte všechna správná tvrzení. Na zemském rovníku je gravitační konstanta

menší než 10,
rovna 10,
větší než 10.

Odeslat  

Žádné z nabízených tvrzení není správné. Gravitační konstanta \(G\) je konstantou úměrnosti v Newtonově gravitačním zákonu a má v celém vesmíru stejnou hodnotu \(G=6{,}67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{kg}^{-2}\). Tíhové zrychlení \(g\) je zcela jiná veličina, má jinou jednotku a v žádném případě je nelze porovnávat s gravitační konstantou.

Poznámka na okraj: Tíhové zrychlení podrobněji

Vezmeme-li definiční vztah pro tíhovou sílu \(\Vec{F}_\mathrm{G}=\Vec{F}_\mathrm{g}+\Vec{F}_\mathrm{od}\) a vydělíme-li jej hmotností tělesa, na které síly působí, dostaneme praktičtější vzorec pro tíhové zrychlení:

\[ \Vec{g} = \Vec{a}_\mathrm{g} + \Vec{a}_\mathrm{od}\;. \]

Velikost gravitačního zrychlení počítáme ze vztahu \(a_\mathrm{g}=GM/R^2\) a velikost odstředivého zrychlení ze vztahu \(a_\mathrm{od}=v^2/r\), kde \(v\) a \(r\) jsou rychlost tělesa a poloměr jeho trajektorie vůči inerciální geocentrické vztažné soustavě.

Poznámka na okraj: Setrvačné síly

O setrvačných silách jsme se krátce zmínili v poznámce v kapitole 5. Připomeňme si, že tyto síly existují jen v neinerciálních vztažných soustavách. Nevznikají vzájemným působením mezi tělesy, ale jako důsledek zrychleného pohybu samotného pozorovatele fyzikálních dějů. Proto se jim říká též zdánlivé neboli fiktivní síly.

Pokud se pozorovatel pohybuje rovnoměrně po kružnici, má pocit, že na tělesa v jeho okolí působí kromě reálných sil i síla odstředivá \(\Vec{F}_\mathrm{od}\) a pokud se navíc tato tělesa pohybují, ještě i Coriolisova \(\Vec{F}_\mathrm{C}\).

Připoutaný řidič v autě, který ostře projede zatáčkou, pozoruje, jak odstředivá síla vynáší od středu například neupevněnou láhev s pitím. Pozorovatel stojící mimo silnici (inerciální vztažná soustava, dále jen IVS) by žádnou odstředivou sílu nezaregistroval a naopak by potvrdil platnost prvního Newtonova zákona – láhev s pitím setrvává v pohybu rovnoměrném přímočarém, dokud nenarazí na stěnu kabiny auta. Odstředivá síla je zdánlivý efekt, který vzniká v důsledku neinerciálnosti toho, kdo se dívá. Podobně pozorovatel, který sedí na řetízkovém kolotoči a během otáčení upustí bonbon, vidí, jak se tento bonbon vzdaluje od osy otáčení, a interpretuje to jako důsledek odstředivé síly (neinerciální VS), kdežto pozorovatel stojící na zemi (IVS) vidí, jak bonbon setrvává v pohybu daným směrem.

Při rovnoměrném pohybu pozorovatele po kružnici (vůči nějaké IVS) vypočítáme velikost odstředivé síly podle vztahu \(F_\mathrm{od}=ma_\mathrm{n}^*=m(v^*)^2/r^*\), kde \(a^*\), \(v^*\) a \(r^*\) jsou zrychlení, rychlost a poloměr trajektorie pohybu pozorovatele a \(m\) hmotnost pozorovaného tělesa.

V zeměpisu jste pravděpodobně slyšeli o síle Coriolisově v souvislosti s pohybem oblačnosti nebo směrem otáčení vodních vírů na severní a jižní polokouli. Tato síla je opět důsledkem neinerciálnosti pozorovatele. Uplatňuje se u těles, která se vzdalují nebo přibližují k ose otáčení a která pozorujeme z otáčející se vztažné soustavy. Coriolisova síla je orientována proti směru otáčení pozorovatele, pokud se pozorovaný objekt vzdaluje od osy otáčení. Takže ledová kostka klouzající bez tření od středu po gramofonové desce (přímočaře z hlediska vnějšího pozorovatele, IVS) bude na této otáčející se gramofonové desce zanechávat zakřivenou vlhkou stopu. Pozorovatel spojený s deskou si tento jev vysvětlí přítomností Coriolisovy síly. Podobně oblačnost směřující v našich zeměpisných šířkách od severu k jihu (vzdaluje se od osy rotace) se v důsledku tohoto jevu bude stáčet směrem k západu (proti směru otáčení planety).

Poznámka na okraj: Gravitace na povrchu Země z hlediska inerciální vztažné soustavy

Uvažujme těleso v klidu ležící na povrchu Země. Pokud se na něj budeme dívat z povrchu Země (neinerciální vztažná soustava), musíme uvažovat tíhovou sílu a počítat s tíhovým zrychlením.

Na totéž těleso se můžeme ovšem podívat i z hlediska inerciální vztažné soustavy spojené se stálicemi. V této pozorovací soustavě se žádné setrvačné síly neuplatňují, platí Newtonovy pohybové zákony. Na toto těleso působí pouze reálné síly: gravitační síla \(\Vec{F}_\mathrm{g}\) a kolmá tlaková síla povrchu \(\Vec{F}_\mathrm{N}\). Jenže z hlediska této soustavy není těleso v klidu, ale pohybuje se spolu s povrchem Země po kružnici. Má tedy dostředivé zrychlení \(\Vec{a}_\mathrm{N}\). Jak ukazuje obrázek 17.32, gravitační a normálová síla se nemohou přesně vyrušit, jejich výslednice směřuje do středu kruhové trajektorie a platí

\[ \Vec{F}_\mathrm{g} + \Vec{F}_\mathrm{N} = m\Vec{a}_\mathrm{N}\;. \]

Porovnáním se vztahy uvedenými ve výkladu si můžeme povšimnout, že v tomto speciálním případě tělesa ležícího v klidu na povrchu Země platí \(\Vec{F}_\mathrm{N}=-\Vec{F}_\mathrm{G}\) a \(\Vec{a}_\mathrm{N}=-\Vec{a}_\mathrm{od}\).

Pohyb družic

Kosmické rychlosti

Newtonův gravitační zákon je fyzikální zákon s univerzální platností – platí stejně na Zemi jako ve vesmíru. Souvislost mezi pádem těles u povrchu a obíháním kolem Země Newton ukazoval následující úvahou.

Představme si, že na vysoký kopec na povrchu Země umístíme dělo, kterým budeme střílet vodorovně rychlostí \(\Vec{v}\). Zanedbáme pro jednoduchost otáčení Země a odpor vzduchu.

Pokud bude rychlost \(\Vec{v}\) malá, dopadne střela blízko od děla. Při postupném zvyšování počáteční rychlosti bude vzdálenost dopadu stále větší a větší. A při dosažení určité rychlosti nedopadne střela na povrch nikdy a začne obíhat po nejnižší kruhové trajektorii. Této rychlosti dnes říkáme první kosmická rychlost, pro Zemi má hodnotu \(v_{1\mathrm{K}}=7{,}9\ \mathrm{km/s}\). Při dalším zvětšování počáteční rychlosti střely přejde kruhový pohyb v pohyb po stále protáhlejší elipse. Jakmile dosáhneme rychlosti, kdy se elipsa již neuzavře, přechází trajektorie v parabolu. Této speciální rychlosti říkáme druhá kosmická rychlost (úniková rychlost) a pro Zemi má hodnotu \(v_{2\mathrm{K}}=11{,}2\ \mathrm{km/s}\). Překročí-li tedy rychlost střely \(v_{2\mathrm{K}}\), má tato střela dostatečně velkou energii, aby od Země odletěla libovolně daleko.

Pohyb po kruhové trajektorii v centrálním poli

K řešení obecného problému pohybu družice po elipse v centrálním gravitačním poli bychom potřebovali pokročilejší matematiku. Rozebereme tedy pouze pohyb po kružnici. Trajektorie všech planet Sluneční soustavy, trajektorii Měsíce i trajektorie mnohých umělých družic Země můžeme s dobrou přesností kruhovým pohybem aproximovat.

Na obrázku 17.34 je znázorněna družice o hmotnosti \(m\) obíhající ve stálé vzdálenosti \(r\) kolem planety o hmotnosti \(M\). Jediná síla působící na družici je gravitační síla \(\Vec{F}_\mathrm{g}\). Tato síla směřuje přesně do těžiště planety, tedy do středu kruhové trajektorie. Jelikož je tedy výslednice sil rovna \(\Vec{F}_\mathrm{g}\), platí dle 2. Newtonova zákona

Gravitační síla uděluje družici zrychlení \(\Vec{a}\), které má stejný směr jako působící síla (vektory \(\Vec{F}_\mathrm{g}\) a \(\Vec{a}\) jsou souhlasně rovnoběžné). Jedná se tedy o dostředivé zrychlení, známe je pod názvem normálové zrychlení \(a=a_\mathrm{N}\). Poněvadž je zrychlení kolmé na směr pohybu (na rychlost \(\Vec{v}\)), projeví se silové působení pouze zakřivováním trajektorie. Velikost rychlosti družice se měnit nemůže, neboť síla netáhne ani vpřed, ani vzad. Pohyb družice na kruhové trajektorii tedy musí být rovnoměrný.

Odvodíme nyní vztah pro rychlost družice. Pro velikosti vektorů máme z 2. Newtonova zákona

Po dosazení síly z gravitačního zákona

a normálového zrychlení

dostáváme

odkud vyjádříme hledanou rychlost

Družice na kruhové trajektorii o daném poloměru má přesně danou konstantní velikost rychlosti.

Příklad 1

Mezinárodní vesmírná stanice, známá pod zkratkou ISS, je v současnosti jediná trvale obydlená vesmírná stanice. Mezi její hlavní cíle patří zkoumání dlouhodobého vlivu vesmírného prostředí na biologické funkce člověka: vliv mikrogravitace na svalovou atrofii, na odvápňování kostí, na oběh tělních tekutin, a vliv kosmického záření zejména na lidskou nervovou soustavu.

ISS se nachází na nízké oběžné dráze ve výšce 420 km nad zemským povrchem. Trajektorie je skloněna o 52° vzhledem k rovníku a při přeletech nad Evropou je ISS z ČR pozorovatelná jako výrazný světelný objekt na noční obloze, který se pohybuje nápadně rychleji a jiným směrem než planety a hvězdy.

Určete:

1. rychlost pohybu ISS,
2. za jak dlouho oběhne ISS Zemi.

Řešení:

Předpokládejme, že se ISS pohybuje po kruhové trajektorii. K výpočtu budeme potřebovat číselnou hodnotu hmotnosti Země \(M_\mathrm{Z}=5{,}97\cdot10^{24}\ \mathrm{kg}\), středního poloměru Země \(R_\mathrm{Z}=6{,}371\cdot10^6\ \mathrm{m}\) a gravitační konstanty \(G=6{,}67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{kg}^{-2}\). Výšku stanice nad povrchem označíme \(h\), dle zadání \(h=4{,}20\cdot10^5\ \mathrm{m}\).

a) Vzdálenost ISS od středu Země je \(r=R_\mathrm{Z}+h=6{,}791\cdot10^6\ \mathrm{m}\). Její rychlost vypočítáme dosazením do odvozeného vztahu

\[ v = \sqrt{\frac{GM_\mathrm{Z}}{r}} = \sqrt{\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\times5{,}97\cdot10^{24}}{6{,}791\cdot10^6}}\ \mathrm{m/s} = 7{,}66\cdot10^3\ \mathrm{m/s} = 7{,}66\ \mathrm{km/s}\;. \]

b) Pohyb družice je rovnoměrný, proto můžeme použít vztah

\[ v = \frac{s}{t} = \frac{\hbox{obvod}}{\hbox{dobu oběhu}} = \frac{2\pi R}{T}\;. \]

Doba oběhu je tedy

\[ T = \frac{2\pi R}{v} = \frac{2\pi\cdot6{,}791\cdot10^6}{7{,}66\cdot10^3}\ \mathrm{s} = 5{,}57\cdot10^3\ \mathrm{s} \doteq 93\ \mathrm{min}\;. \]

Odvození třetího Keplerova zákona a vážení ve vesmíru

Pokračujme v naší úvaze o kruhovém pohybu v radiálním poli. Poněvadž je pohyb družice rovnoměrný, platí vztah \(v=s/t\). Dosaďme do něj za čas jednu periodu oběhu \(T\) a jí odpovídající dráhu rovnou obvodu kružnice:

Je to tatáž rychlost družice, kterou jsme získali jinak – totiž z gravitačního zákona:

Po umocnění rovnice na druhou a dalších jednoduchých matematických úpravách zjišťujeme, že

tedy že podíl třetí mocniny poloměru trajektorie a druhé mocniny doby oběhu je konstantní a závisí pouze na hmotnosti centrálního tělesa. To je formulace třetího Keplerova zákona pro pohyb po kružnici.

Odvozený vzorec má pro astronomy mimořádný význam – umožňuje totiž vážit nebeská tělesa. Dá se použít pro vážení planet, hvězd, galaxií, černých děr, … Stačí změřit, za jak dlouho a v jaké vzdálenosti obíhá kolem tohoto objektu jiné pozorovatelné těleso. Ukažme si, jak jednoduše se dá zvážit Slunce.

Příklad 2

Země obíhá kolem Slunce s periodou 1 rok ve střední vzdálenosti 150 milionů kilometrů. Vypočítejte hmotnost Slunce.

Řešení:

Pohyb Země budeme považovat za kruhový s periodou \(T=365\ \hbox{dní}=3{,}15\cdot10^7\ \mathrm{s}\) a poloměrem \(r=1{,}50\cdot10^{11}\ \mathrm{m}\). Gravitační konstanta má hodnotu \(G=6{,}67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{kg}^{-2}\). Ze 3. Keplerova zákona

\[ \frac{r^3}{T^2} = \frac{GM}{4\pi^2} \]

vyjádříme hmotnost Slunce \(M\) a dosadíme

\[ M = \frac{4\pi^2}{G}\frac{r^3}{T^2} = \frac{4\pi^2}{6{,}67\cdot10^{-11}} \frac{(1{,}50\cdot10^{11})^3}{(3{,}15\cdot10^7)^2}\ \mathrm{kg} = 2{,}0\cdot10^{30}\ \mathrm{kg}\;. \]

Příklad 3

Geostacionární družice jsou umělé družice Země umístěné na speciální oběžnou dráhu tak, aby se nacházely stále nad stejným místem nad povrchem Země. Používají se k telekomunikaci (např. k přenosu satelitního vysílání – Skylink, Astra), k meteorologickým účelům (např. Meteosat), k pozorování Země a vesmíru. Všechny geostacionární družice obíhají nad rovníkem s periodou přesně jeden den. Vypočítejte výšku těchto satelitů nad povrchem a rychlost jejich oběhu. Rovníkový poloměr Země je \(R_\mathrm{E}=6\,378\ \mathrm{km}\), hmotnost Země \(M=5{,}972\cdot10^{24}\ \mathrm{kg}\).

Řešení:

Poloměr kruhové trajektorie družice označíme \(r\), výšku nad povrchem \(h\). Pak zřejmě platí \(r=R_\mathrm{E}+h\).

Doba oběhu \(T=1\ \hbox{den}=8{,}640\cdot10^4\ \mathrm{s}\).

Ze 3. Keplerova zákona

\[ \frac{r^3}{T^2} = \frac{GM}{4\pi^2}\;, \]

vyjádříme poloměr trajektorie a dosadíme:

\[ r = \sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4\pi^2}} = \sqrt[3]{\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\times5{,}972\cdot10^{24}\times(8{,}640\cdot10^4)^2}{4\pi^2}}\ \mathrm{m} = 4{,}223\cdot10^7\ \mathrm{m}\;. \]

Odečtením poloměru Země získáme výšku satelitu nad povrchem:

\[ h = r - R_\mathrm{E} = 4{,}223\cdot10^7\ \mathrm{m} - 6\,378\cdot10^6\ \mathrm{m} = 3{,}57\cdot10^7\ \mathrm{m}\;. \]

Všechny geostacionární družice se nacházejí ve výšce přibližně 36 000 km nad povrchem.

Rychlost těchto družic vypočítáme z dříve odvozeného vztahu

\[ v = \sqrt{\frac{GM}{r}} = \sqrt{\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\times5{,}97\cdot10^{24}}{4{,}223\cdot10^7}}\ \mathrm{m/s} = 3{,}07\cdot10^3\ \mathrm{m/s} \;. \]

Geostacionární satelity se pohybují rychlostí přibližně 3 km/s.

K předpovídání počasí a sledování klimatu se používají jak geostacionární družice, tak satelity obíhající v rovině pólů. Více se dozvíte v následujícím videu: https://www.youtube.com/watch?v=Irxg-9svRtc

Gravitace ve vesmíru

Podstata gravitace

Lidstvo si dlouho lámalo hlavu nad tím, co je podstatou gravitace. Čtenář zajisté na tomto místě poznamená, že jsme to ještě nevysvětlili a že by si vysvětlení po tolika stránkách textu o gravitaci zasloužil.

Newtonův gravitační zákon byl po tři sta let považován za správnou teorii gravitace. Platí pro kulově symetrická tělesa nebo tělesa, jejichž rozměry jsou zanedbatelné vzhledem k jejich vzdálenosti a která se vzájemně pohybují rychlostmi výrazně menšími, než je rychlost světla ve vakuu. Přesto nijak nevysvětluje, co se děje v prostoru mezi dvěma tělesy, když na sebe gravitačně působí. Navíc předpokládá, že působení je okamžité.

Hmotné těleso T na obrázku 17.38 je v poloze (1) a vytváří v bodě B gravitační pole o intenzitě \(\Vec{a}_{\mathrm{g}1}\). V okamžiku, kdy se začne toto těleso pohybovat směrem k poloze (2), mělo by se podle gravitačního zákona okamžitě začít zmenšovat gravitační pole v bodě B. To znamená, že by se „informace o tom, že se těleso T pohnulo“ musela prostorem šířit nekonečnou rychlostí. Ukazuje se ovšem, že takový předpoklad není ve skutečnosti splněn. Maximální rychlost šíření jakékoli informace je vždy konečná a má hodnotu rychlosti světla ve vakuu \(c=3\cdot10^8\ \mathrm{m/s}\).

S teorií gravitace, která je dnes považována za správnou, přišel v roce 1915 Albert Einstein. Říká se jí obecná teorie relativity. V době vzniku téměř nikdo nevěřil, že by mohla platit, protože pro ni neexistoval žádný experimentální důkaz, a navíc revolučním způsobem nahrazovala klasické Newtonovo chápání gravitace, prostoru a času.

Obecná teorie relativity předpokládá, že hmotná tělesa svou přítomností zakřivují okolní časoprostor. Představit si to můžete, jako kdybyste na rovnou stejnoměrně napnutou tkaninu hodili těžkou ocelovou kouli. Tkanina se deformuje, původně rovnoběžná vlákna již nejsou přesně rovnoběžná, nejkratší spojnice dvou uzlíků v látce už není úsečka, ale křivá čára. Informace o zakřivení se šíří konečnou rychlostí. Svou přítomností mění hmota také rychlost plynutí času – čas a prostor je provázán. V tomto zakřiveném časoprostoru se tělesa pohybují po nejpřímějších trajektoriích, takzvaných geodetikách. Přirovnat by se to dalo k pohybu zkušeného orientačního běžce terénem: mezi dvěma kontrolami volí nejrychlejší cestu, což v kopcovitém terénu zpravidla není úsečka.

Podle Einsteina tedy hmota zakřivuje časoprostor a ten určuje všem objektům, jak se v něm mají pohybovat. Čas a prostor jsou projevem hmoty, nelze je od sebe oddělit. Pokud byste se chtěli dozvědět více, můžeme doporučit např. https://www.aldebaran.cz/astrofyzika/gravitace/

Gravitační čočka

Jedním z prvních důkazů platnosti obecné teorie relativity bylo pozorování vlivu gravitace na šíření světla. Světlo se mezi dvěma místy šíří tak, aby danou vzdálenost urazilo co nejrychleji. V nezakřiveném prázdném prostoru se šíří po přímce. V zakřiveném prostoru kolem hodně hmotných těles je nejkratší spojnicí zakřivená čára, takže gravitace ohýbá směr šíření paprsků – chová se jako spojná čočka.

První pozorování efektu gravitační čočky provedl v roce 1919 Arthur Eddington při úplném zatmění Slunce. Při něm Měsíc zcela zakryje sluneční kotouč, obloha není přesvícena rozptýleným slunečním světlem a jsou na ní vidět hvězdy a sluneční koróna. Zcela v souladu s předpovědí obecné teorie relativity Eddington pozoroval ohyb paprsků vzdálených hvězd, které prošly silným gravitačním polem v okolí Slunce.

Jak ukazuje následující obrázek, paprsek jdoucí silným gravitačním polem Slunce byl zakřiven a dopadá do oka pozorovatele na Zemi. Jenže člověk vnímá a měří pouze směr, z jakého paprsky přicházejí – a není schopen svými smysly zjistit, co se s paprskem dělo během šíření. Proto má pocit, že paprsek vychází z jiného místa na obloze, než je skutečná poloha zdroje světla. V dalekohledu se tento efekt projeví mírným oddálením hvězd od zakrytého slunečního kotouče. Poloha hvězd, jejichž paprsky neprocházejí silným gravitačním polem v blízkosti Slunce, se nemění.

Gravitační vlny

Existence gravitačních vln byla předpovězena teoreticky již v roce 1916 Albertem Einsteinem. Poprvé byly tyto vlny experimentálně zaregistrovány teprve v roce 2015 na detektoru LIGO v americkém státě Washington. Gravitační vlny spočívají v pravidelně se opakujících změnách zakřivení časoprostoru, které se od zdroje šíří rychlostí světla \(c=3\cdot10^8\ \mathrm{m/s}\).

Pozorované gravitační vlny k nám dorazily ze vzdálenosti řádově 1 miliarda světelných let. Vznikly v průběhu splynutí dvou černých děr o hmotnostech přibližně třicetkrát větších, než je hmotnost Slunce. Tento jev je ve vesmíru poměrně vzácný, rozhodně nemůžeme očekávat, že něco podobného budeme pozorovat každý týden. Černé díry obíhaly kolem společného těžiště. Gravitací se přitahovaly a postupně se přibližovaly. Čím byly k sobě blíž, tím větší byla také jejich rychlost. Během obíhání vytvářely kolem sebe silné a stále prudčeji se měnící gravitační pole. Vlnění křivosti časoprostoru k nám putovalo miliardu let, takže o splynutí černých děr, kdy zdroj vlnění ustal, jsme se dozvěděli se zpožděním jedné miliardy let.

Podle současného stavu poznání existují ve vesmíru čtyři základní interakce: gravitační, elektromagnetická, silná a slabá. Přestože na úrovni jader atomů je gravitace v porovnání s ostatními interakcemi nejslabší, ve vesmírných rozměrech nad zbývajícími třemi drtivě převažuje. Silná a slabá interakce jsou totiž krátkodosahové – působí jen na vzdálenosti srovnatelné s velikostí jádra atomu. Elektrická síla se ve vesmírných měřítkách také neuplatňuje, neboť vesmírná tělesa jsou elektricky neutrální. Gravitace je doslova síla, která hýbe vesmírem.

Přestože nám v současnosti teoretické modely gravitace fungují v souladu s experimenty, dosud se lidstvu nepodařilo pochopit a experimentálně ověřit, jak gravitace souvisí s ostatními interakcemi. Možná se jednou dočkáme fenomenálního objevu a zcela nové fyziky.