Jak velkou silou se přitahují Slunce a Země? Hmotnost Slunce je 1,99 ⋅ 10³⁰ kg, hmotnost Země 5,97 ⋅ 10²⁴ kg. Střední vzdálenost těžišť těchto těles je 1,50 ⋅ 10⁸ km.

Odhadněte, jak velkou gravitační silou se přitahují dva lidé o hmotnostech 65 kg a 85 kg, jejichž těžiště jsou vzdálena 70 cm. Vysvětlete, proč gravitační přitažlivost druhého člověka nepociťují.

Do jaké vzdálenosti bychom museli umístit dva železniční vagóny o hmotnostech 20 tun, aby se přitahovaly silou 1 N? Je to reálné?

Ve vzdálenosti \(r\) se tělesa přitahují silou \(F\). Když zvětšíme jejich vzdálenost o 1 metr, gravitační síla poklesne na třetinu původní hodnoty. Jaká byla původní vzdálenost \(r\)?

Teoretické otázky:

1. Vysvětlete samostatně, co je to gravitační pole.
2. Uveďte směr, působiště a vzorec pro výpočet gravitační síly.
3. Uveďte směr, působiště a vzorec pro výpočet tíhové síly.
4. Napište hodnotu gravitační konstanty \(G\) a hodnotu tíhového zrychlení \(g\) na povrchu Země (samozřejmě obojí s jednotkou).
5. Uveďte, na čem závisí tíhové zrychlení.

Poloměr Měsíce je 1,74 ⋅ 10⁶ m, jeho hmotnost 7,34 ⋅ 10²² kg.

1. Vypočítejte velikost gravitačního zrychlení na povrchu Měsíce.
2. Do jaké výšky byste na Měsíci dokázali vyskočit, kdybyste se odrazili rychlostí 4,4 m/s? Tato rychlost odpovídá výskoku do výšky 1 m na Zemi.

Poloměr planety Mars je 3,40 ⋅ 10³ km, gravitační zrychlení na povrchu má hodnotu 3,72 m/s². Určete:

1. hmotnost Marsu,
2. gravitační zrychlení ve výšce 1 000 km nad povrchem Marsu.

Jaké je gravitační zrychlení ve výšce 36 000 km nad povrchem Země? V této výšce se nacházejí tzv. geostacionární družice.

Označme \(a_0\) gravitační zrychlení na povrchu planety o poloměru \(R\). Odvoďte, že gravitační zrychlení \(a_h\) ve výšce \(h\) nad povrchem planety je dáno vztahem

Gravitační zrychlení na povrchu Saturnu je 7,85 m/s². Ve vzdálenosti 5 000 km nad jeho povrchem má gravitační zrychlení hodnotu 6,69 m/s². Na základě těchto údajů vypočítejte poloměr Saturnu.

Země se otáčí kolem své osy s periodou 1 den. Rovníkový poloměr je \(R_\mathrm{E}=6\,378\ \mathrm{km}\), polární poloměr \(R_\mathrm{P}=6\,357\ \mathrm{km}\), střední poloměr Země \(R_\mathrm{Z}=6\,371\ \mathrm{km}\). Hmotnost Země je \(M_\mathrm{Z}=5{,}972\cdot10^{24}\ \mathrm{kg}\). Gravitační konstanta je \(G=6{,}674\cdot10^{-11}\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{kg}^{-2}\). Na základě těchto údajů vypočítejte teoretické hodnoty tíhového zrychlení:

1. na severním pólu v zanedbatelné nadmořské výšce,
2. na rovníku v nulové nadmořské výšce,
3. na 50° severní šířky v nulové nadmořské výšce (vezměte střední poloměr Země),
4. tíhové zrychlení v místě svého bydliště.

Svůj druhý světový rekord v hodu oštěpem získal Jan Železný v roce 1990 během mítinku Zlaté ligy v Oslo. Bylo mu tehdy 24 roků a hodil do vzdálenosti 89,66 m.

Zanedbáme-li odpor vzduchu, lze délku šikmého vrhu vypočítat ze vztahu

kde \(v_0\) je počáteční rychlost, \(\alpha\) elevační úhel a \(g\) tíhové zrychlení. Oslo leží v malé nadmořské výšce, místní tíhové zrychlení je 9,819 m/s².

Jak daleko by oštěp letěl za jinak stejných počátečních podmínek, kdyby se mítink konal v La Paz, nejvýše položeném hlavním městě světa? La Paz leží v Bolívii v nadmořské výšce 3640 m. Místní tíhové zrychlení má hodnotu 9,784 m/s².

Jakou rychlostí obíhá Země kolem Slunce? Dobu oběhu i poloměr trajektorie byste měli znát zpaměti.

Střední poloměr Země je \(R_\mathrm{Z}=6\,371\ \mathrm{km}\), hmotnost Země \(M_\mathrm{Z}=5{,}972\cdot10^{24}\ \mathrm{kg}\). Přímým výpočtem dokažte, že první kosmická rychlost má hodnotu \(v_{1\mathrm{K}}=7{,}9\ \mathrm{km/s}\).

S jakým zrychlením se pohybuje Země kolem Slunce? Použijte výsledek cvičení 1.

Mnoho lidí se domnívá, že zimní období nastává, když je Země nejdále od Slunce. Najděte argument, který dokazuje, že střídání ročních období se změnou vzdálenosti Země od Slunce nesouvisí. Co je skutečnou příčinou střídání ročních dob?

Kosmonauti na mezinárodní vesmírné stanici (ISS) pociťují stav beztíže.

1. Vysvětlete samostatně, co znamená „stav beztíže“.

2. Někteří lidé se domnívají, že stav beztíže na oběžné dráze vzniká nepřítomností gravitačního pole. Vysvětlete, co je jeho skutečnou příčinou.

3. Co by se stalo, kdyby:

   1. se ISS dostala mimo gravitační pole Země,
   2. nějakým záhadným způsobem přestalo existovat gravitační pole pouze uvnitř ISS, kde se nacházejí kosmonauti,
   3. se ISS na svojí kruhové trajektorii zastavila,
   4. atmosféra sahala až do výšky, kde se pohybuje ISS.

Venuše obíhá kolem Slunce s periodou 225 dní. S využitím 3. Keplerova zákona a parametrů oběhu Země vypočítejte poloměr Venušiny trajektorie. Nepotřebujete znát hmotnost Slunce.

Sluneční soustava se nachází ve vzdálenosti 26 tisíc světelných let od galaktického jádra Mléčné dráhy. Slunce oběhne jádro Galaxie za 240 milionů let. Určete:

1. jakou dráhu urazí světlo za jeden rok, je-li jeho rychlost 299 792 458 m/s,
2. rychlost pohybu Slunce kolem středu Galaxie,
3. zrychlení, s jakým se Slunce pohybuje,
4. jakou hmotnost má středová část Galaxie, kolem níž Slunce obíhá.

Druhá kosmická rychlost \(v_{2\mathrm{K}}\) odpovídá rychlosti, při níž celková mechanická energie tělesa v gravitačním poli právě přesáhne 0 J. Těleso mající na povrchu Země rychlost \(v_{2\mathrm{K}}\) má dost energie, aby se od Země vzdálilo libovolně daleko, přestává být vázané v gravitačním poli. Přímým výpočtem ukažte, že na Zemi je \(v_{2\mathrm{K}}=11{,}2\ \mathrm{km/s}\).