Šíření světla

Světlo je jeden z nejzajímavějších fyzikálních objektů. Spory o podstatu světla provázely fyziku po velkou část její historie. Otázku, „co“ je to světlo, však nechejme do dalších kapitol. V geometrické optice se zabýváme otázkou, „jak“ se světlo šíří prostorem. Pomocí geometrické optiky můžeme pochopit, jak funguje zrak a umožňuje nám konstruovat optické přístroje od brýlí po fotoaparáty a dalekohledy.

Proč vidíme?

Na úvod si představíme základní pojmy geometrické optiky. Použijeme k tomu příklad Hanky sledující květinu (viz obrázek 23.15). Jaké jsou podmínky nutné k tomu, aby lidské oko mohlo vidět nějaký předmět?

Zdroj světla

Zdrojem světla je předmět, ze kterého vychází světlo (Slunce, žárovka, plamen, světluška). O zdrojích světla se podrobněji dočtete v kapitole 26. Pro účely geometrické optiky je podstatná velikost zdroje a to, jakými směry se z něj šíří světlo. Nejjednodušším případem je bodový všesměrový zdroj (viz obrázek 23.16). Je to bod, ze kterého vychází světlo všemi směry. Takový zdroj ve skutečnosti neexistuje, ale například hvězdy na noční obloze mají k tomuto ideálu velmi blízko. Většina zdrojů kolem nás jsou zdroje plošné. Ty se skládají z velkého množství mnoha bodových zdrojů (například zářivka). Možná vás napadlo, že zářivka je mnohem menší než hvězda, kterou jsme použili jako příklad bodového zdroje. Ano, ale hvězda je od nás, na rozdíl od zářivky, velmi daleko. Dalo by se říci, že každý plošný zdroj, pozorovaný z velké vzdálenosti, se bude jevit jako bodový. Posledním příkladem je směrový zdroj. Například laserové ukazovátko je plošným zdrojem, ale světlo z něj vychází prakticky jen jedním směrem.

Prostředí

Abychom mohli vidět, musíme se nacházet ve vhodném prostředí, které světlo příliš nepohlcuje. Takové prostředí označujeme jako průhledné a jeho ideálním případem je vakuum. Všechna ostatní průhledná prostředí (voda, vzduch, sklo) světlo do určité míry ovlivňují. Mohou ho pohlcovat nebo rozptylovat. Pohlcování světla je dobře pozorovatelné v případě mořské vody – do větších hloubek se žádné světlo nedostane. Pohlcování světla je často selektivní – různé barvy jsou pohlcovány různě. U vody je nejvíce pohlcována červená barva, do hloubky proto proniká jen modrá. Při rozptylu je světlo náhodně vychylováno ze svého původního směru. Rozptyl většinou nastává na mnoha mikroskopických částečkách (například prachových částicích ve vzduchu).

Předmět

U neprůhledných pozorovaných předmětů záleží na jejich povrchu, kolik světla pohltí a kolik odrazí, případně jakým směrem. Pohlcování světla je opět selektivní – některé barvy jsou pohlcovány, jiné nikoliv. Tím získávají předměty svoji barvu (více o barevném vidění v kapitole 24). Až na zvláštní výjimky, odrážejí předměty světlo do všech směrů.

Máme tu zdroj světla, průhledné prostředí, kterým se světlo šíří, a předměty, od kterých se odráží. Nakonec musí světlo dopadnout do zobrazovacího zařízení, kde se z dopadajícího světla vytváří obraz. Obraz umí vytvářet nejen lidské oko ale také fotoaparát nebo kamera. Jejich princip vyložíme na konci této kapitoly.

Zákon přímočarého šíření světla

Geometrická optika získala svůj název zcela záměrně. Šíření světla totiž popisuje pomocí geometrie. Konkrétně k tomu využívá paprsky. Paprsky jsou myšlené čáry, které popisují dráhu šíření světla prostředím. V částicovém modelu by se jednalo o trajektorie světelných částic a ve vlnovém modelu o kolmice na vlnoplochy. Celá geometrická optika stojí na třech základních zákonech, které popisují chod paprsků v různých situacích. Tyto tři zákony je možné odvodit z Fermatova principu (viz motivační aktivita) nebo pomocí vlnové teorie (viz kapitola 22).

První zákon popisuje, jak se světlo šíří v homogenním průhledném prostředí. To je takové prostředí, které má ve všech bodech stejné vlastnosti.

K vyřešení úlohy, která se odehrává v homogenním prostředí, vám proto bude stačit jen pravítko.

Příklad 1

Pomocí paprsků odvoďte, jak bude vypadat stín kruhového předmětu osvětleného plošným zdrojem světla. Úlohu řešte pouze dvourozměrně. Trojrozměrné řešení můžete zkusit vyřešit na základě své prostorové představivosti nebo pomocí experimentu v tmavé místnosti.

Řešení:

Z každého bodu plošného zdroje vychází do všech směrů nekonečno přímých paprsků. V geometrické optice si z nich vždy vybíráme jen ty, které jsou podstatné pro řešení úlohy. V tomto případě to budou „okrajové“ paprsky, které tvoří tečny k předmětu z krajních bodů zdroje (viz obrázek 23.19a).

Zákon odrazu

Nyní se zaměříme na situaci, kdy světlo dopadá na rozhraní dvou různých prostředí. V tomto případě mohou nastat dva jevy – odraz a lom. Zatímco lom světla nastává pouze na rozhraní dvou průhledných prostředí, k odrazu dochází prakticky od všech povrchů. Ke studiu zákona odrazu však budeme potřebovat předmět s dostatečně hladkým povrchem, a tím je zrcadlo. Na obrázku je zachycen odraz laserového světla od rovinného zrcadla. Pomocí úhloměru na pozadí můžeme jednoduše vidět, že úhel dopadu \(\alpha\) je stejný jako úhel odrazu \(\alpha'\).

Pro pořádek je potřeba úhel dopadu a odrazu správně definovat. Úhly v optice měříme vždy od kolmice dopadu, což je kolmice na rozhraní v bodě dopadu (viz obrázek 23.20). Dále je potřeba doplnit, že odražený paprsek leží ve stejné rovině dané kolmicí dopadu a dopadajícím paprskem. Zákon odrazu můžeme zapsat matematicky velmi jednoduše:

Aby se světlo skutečně odrazilo přesně podle zákona odrazu, musí být odrazná plocha dostatečně hladká na mikroskopické úrovni. Dostatečně hladké rozhraní pro odraz vytváří například klidná vodní hladina nebo sklo. Právě ze skla se vyrábí také zrcadla, a to nanesením tenké kovové vrstvy na zadní stranu skla.

Co se stane, pokud se světlo odráží od drsného povrchu, ukazuje další obrázek 23.21. Odražené světlo je rozptýlené do mnoha směrů. Tento druh odrazu je v praxi mnohem častější, protože většina materiálů má na mikroskopické úrovni drsný povrch. Díky rozptylu se vždy najdou nějaké paprsky, které zamíří i do oka pozorovatele – předmět je pro něj viditelný i ze směru, který neodpovídá úhlu odrazu. Proto přečtete třeba text napsaný na tabuli z jakéhokoliv místa ve třídě.

Příklad 2

Jak vysoké rovné zrcadlo a v jaké výšce potřebuje stojící člověk vysoký 180 cm k tomu, aby se v něm viděl celý (tedy od chodidel po temeno hlavy)? Zrcadlo je umístěno na svislé stěně. K vyřešení úlohy použijte geometrickou konstrukci.

Řešení:

Situace je znázorněna na obrázku. Nejdřív je potřeba si uvědomit, že je úplně jedno, jak daleko od zrcadla člověk stojí. Z obrázku vyplývá, že bude stačit zrcadlo o výšce 90 cm umístěné zhruba naproti horní polovině těla. Přesná poloha zrcadla závisí na poloze očí pozorovatele.

Zákon lomu

Než si představíme zákon lomu, je potřeba zavést jednu praktickou veličinu, která charakterizuje dané optické prostředí. Jedná se o index lomu \(n\). Je definován jako podíl rychlosti světla ve vakuu a rychlosti světla v daném prostředí.

Jinými slovy, index lomu je bezrozměrná veličina, která určuje, kolikrát je rychlost světla v daném prostředí menší než ve vakuu. Hodnoty indexu lomu pro některá prostředí jsou uvedeny v tabulce. Jak vidíte, indexy lomu jsou docela pěkná čísla blízká jedničce, narozdíl od rychlosti světla.

Poznámka k tabulce: index lomu mírně závisí také na vlnové délce světla, uvedené hodnoty jsou pro vlnovou délku 580 nm (odpovídá žluté barvě).

Kontrolní otázka

Jakou rychlostí se šíří světlo ve skle s indexem lomu \(n=1{,}5\)?

1,5 ⋅ 10⁸ m/s
2 ⋅ 10⁸ m/s
2,5 ⋅ 10⁸ m/s
3 ⋅ 10⁸ m/s
4,5 ⋅ 10⁸ m/s

Odeslat  

Zákon lomu popisuje situaci, kdy se paprsek po dopadu na rozhraní láme – proniká do druhého prostředí. Celá situace je názorně zachycena na obrázku 23.23 zobrazujícím lom laserového světla při přechodu ze vzduchu do plastu.

Mohou nastat dvě různé situace – lom ke kolmici a lom od kolmice. Lom ke kolmici nastane v případě, že se světlo šíří do prostředí s vyšším indexem lomu (například ze vzduchu do plexiskla). Druhá varianta, tedy lom od kolmice, nastane, když se paprsek šíří do prostředí s nižším indexem lomu (například z plexiskla do vzduchu). Obě situace můžete porovnat také na obrázku 2.34.

Na předchozím obrázku 23.24 si můžeme všimnout také odraženého paprsku. Je to tím, že odraz a lom probíhají většinou současně – část světla se odrazí a zbytek se zlomí.

Příklad 3

Pomocí obrázků lomu světla určete index lomu plexiskla, ze kterého je vyroben půlválec. Proveďte výpočet pro obě situace (lom ke kolmici a lom od kolmice)

Řešení:

Z obrázku odečteme úhel dopadu \(\alpha=30^\circ\). Úhel lomu je v případě lomu ke kolmici \(\beta=20^\circ\). V případě lomu od kolmice \(\beta=47^\circ\). Nyní zapíšeme zákon lomu

\[ n_1\sin\alpha = n_2\sin\beta \]

V prvním případě vstupuje světlo ze vzduchu do plexiskla a platí tedy \(n_1=1\) (vzduch) a \(n_2\) je hledaný index lomu plexiskla:

\[ \sin\alpha = n_2\sin\beta\;. \]

Odtud

\[ n_2 = \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}\;. \]

Po dosazení číselných hodnot odečtených z obrázku vyjde pro index lomu plexiskla \(n_2=1{,}46\).

V druhém případě vstupuje světlo z plexiskla do vzduchu a platí tedy \(n_2=1\) a \(n_1\) je hledaný index lomu plexiskla:

\[ n_1\sin\alpha = \sin\beta\;. \]

Odtud

\[ n_1 = \frac{\sin\beta}{\sin\alpha}\;. \]

Po dosazení číselných hodnot odečtených z obrázku vyjde pro index lomu plexiskla \(n_2=1{,}46\).

Příklad 4

Světelný paprsek dopadá na skleněnou desku s rovnoběžnými stěnami (viz obrázek). Načrtněte průchod paprsku deskou. Pomocí zákona lomu dokažte, že paprsek vycházející z desky je rovnoběžný s dopadajícím paprskem.

Řešení:

Řešení je patrné z obrázku 23.26. Úhel lomu z prvního rozhraní (\(\beta\)) je stejně velký jako úhel dopadu na druhé rozhraní (\(\beta'=\beta\)). Zákon lomu pro první rozhraní zapíšeme jako \(n_1\sin\alpha=n_2\sin\beta\) (\(n_1\) je index lomu vzduchu, \(n_2\) je index lomu skla). Pro druhé rozhraní platí \(n_2\sin\beta=n_1\sin\alpha'\). Porovnáním obou rovnic dostaneme \(n_1\sin\alpha=n_1\sin\alpha'\) a odtud \(\alpha=\alpha'\). Proto je paprsek po průchodu deskou rovnoběžný s dopadajícím paprskem.

V případě lomu od kolmice, kdy se paprsek šíří z prostředí s větším indexem lomu \(n_1\) do prostředí s nižším indexem lomu \(n_2\), může nastat zajímavý jev, který se nazývá totální odraz. Na sérii obrázků 2.37 je zachycena situace, kdy postupně zvětšujeme úhel dopadu \(\alpha\). Až do chvíle, kdy úhel lomu \(\beta\) dosáhne hodnoty téměř 90°, můžeme pozorovat odražený i lomený paprsek. Budeme-li dále zvětšovat úhel dopadu, lomený paprsek zcela zmizí a veškeré světlo se od rozhraní odrazí.

Pro mezní situaci, kdy \(\beta=90^\circ\), definujeme mezní úhel dopadu \(\alpha_\mathrm{m}\), po jehož překročení již nemůže nastat lom a proto se veškeré světlo od rozhraní odrazí. Mezní úhel lze určit jednoduše ze zákona lomu, do kterého dosadíme \(\alpha=\alpha_\mathrm{m}\) a \(\beta=90^\circ\):

Výše uvedený vztah pro mezní úhel platí za podmínky, že \(n_1>n_2\). Je-li druhým prostředím vzduch, tak lze vztah ještě zjednodušit, jelikož přibližně platí \(n_2=1\).

Příklad 5

Na obrázku 23.28 vidíme dvojitý totální odraz světla v hranolu ve tvaru rovnoramenného trojúhelníku. Hranol tohoto tvaru se používá k převrácení obrazu. Stanovte podmínku pro index lomu materiálu, ze kterého je hranol vyroben, aby dopadající a odražený paprsek byly rovnoběžné.

Řešení:

Z obrázku 23.28 je patrné, že světlo uvnitř hranolu dopadá na rozhraní pod úhlem \(\alpha=45^\circ\). Pro mezní úhel platí rovnice:

\[ n_1\sin\alpha_\mathrm{m} = n_2\sin(90^\circ)\;. \]

Světlo se šíří do vzduchu, proto \(n_2=1\). Odtud

\[ n_1 = 1/\sin\alpha_\mathrm{m}\; \]

Mezní úhel musí být menší nebo roven 45°. Dostaneme \(n_1=1/\sin(45^\circ)=1{,}41\). Závěr: index lomu materiálu hranolu musí mít hodnotu alespoň 1,41.

Totální odraz světla má bohaté využití v praxi. Kromě odrazných hranolů se využívá hlavně v optických vláknech. Princip šíření světla v optickém vláknu ukazuje obrázek.

Ohebné a tenké vlákno umožňuje šíření světla jen s minimálními ztrátami. Využití najdeme v optoelektronice a telekomunikaci, kde slouží k přenosu signálů. V medicíně se optická vlákna využívají v endoskopu, který slouží k vyšetření dutin v lidském těle.

Odraz a lom světla

Zobrazení

Zobrazení v geometrii je předpis, který určuje jednotlivým bodům (vzorům) jejich obrazy. Například v osové souměrnosti se body zobrazí vždy na kolmici k ose ve stejné vzdálenosti od ní. Zobrazení v optice můžeme chápat jako fyzickou realizaci matematického zobrazení pomocí světla. Při optickém zobrazení se mění chod paprsků tak, že vzniká obraz předmětu v jiném místě prostoru. Pojďme se podívat, jak může takové zobrazení vypadat v praxi. Použijeme k tomu dva bodové zdroje A a B a projekční plochu (stínítko). Tou může být bílý papír, fotografický film, snímač digitálního foťáku nebo sítnice v našem oku. Na obrázku 23.31 část a) vidíme, co se stane, když zdroje umístíme před projekční plochu a necháme paprsky šířit volně prostorem. V tomto případě žádný obraz nevznikne, protože oba zdroje osvětlují celou projekční plochu.

Na obrázku 23.31 část b) vidíme nejjednodušší způsob, jak vytvořit optické zobrazení. Nazývá se dírková komora neboli camera obscura. Před projekční plochu umístíme miniaturní otvor, který odstíní téměř všechny paprsky. Ty, které projdou, vytvoří obrazy bodů na ploše. Tento jednoduchý princip zobrazování byl historickým předchůdcem fotoaparátu. Problém dírkové komory je ten, že otvor musí být velmi malý, aby nedošlo k podstatnému rozmazání obrazu. Díky tomu proniká dovnitř jen minimální množství světla. Pro dokonalé zobrazení, kdy se bod zobrazí přesně na bod, by byl potřeba nekonečně malý (bodový) otvor, který by do komory pouštěl nekonečně málo světla.

Pořádné zobrazovací zařízení proto musí měnit směr chodu paprsků, jak vidíme na obrázku 23.31 část c). Dírku nahradíme skleněnou čočkou ve správné vzdálenosti od projekční plochy. Čočka láme paprsky právě tak, aby se paprsky vycházející z jednoho bodu protly opět v jednom bodě. Říkáme, že v bodě A′ vzniká skutečný obraz bodu A. Tento obraz můžeme pozorovat okem na projekční ploše nebo zachytit na senzor fotoaparátu.

Poznámka na okraj: Dírková komora

Dírková komora (latinsky camera obscura, anglicky pinhole camera) je jednoduché optické zobrazovací zařízení ve tvaru uzavřené skříňky či prostoru, v jehož jedné stěně je malý otvor, který na protilehlé stěně vytváří obraz vnějšího prostoru (viz obrázek 23.32).

S obrazem vytvořeným malou dírkou se lze setkat v přírodě i v běžném životě a lidé v různých koutech světa ho pozorovali již od pradávna. Například Aristoteles se ve svém díle zamýšlel nad problémem, proč sluneční světlo procházející malým čtyřúhelníkovým otvorem, vytváří kruhový obraz Slunce. Uspokojivou odpověď ale neznal, protože principy geometrické optiky tehdy nebyly známy. Také arabský fyzik a matematik Alhazen v 10. století popisuje převrácený obraz vytvořený malou dírkou. První podrobnější popis dírkové komory najdeme v rukopise Leonarda da Vinciho z konce 15. století. Leonardo ji používal ke studiu perspektivy.

V průběhu 16. století byla camera obscura malou místností, kde se obraz promítal na stěnu otvorem v protilehlé stěně. Byla využívána k pozorování zatmění slunce a ke zkoumání zákonů zobrazování. Později se z ní stal přenosný přístroj a nakonec byla dírka nahrazena spojnou čočkou. Tyto zobrazovací přístroje se používaly jako malířská pomůcka a začátkem 19. století se staly základem konstrukce prvních fotoaparátů.

Přestože technicky je již dírková komora překonaná, stále se najdou umělci a nadšenci, kteří pomocí dírkové komory pořizují fotografie. Vyrobit jednoduchou dírkovou komoru je snadné. Do jedné stěny uzavíratelné krabičky z neprůsvitného materiálu se udělá otvor, na který se umístí kousek slabého plíšku s nepatrnou dírkou. Zvenku se otvor přelepí proužkem černé lepenky. Ta poslouží jako spoušť. Na protější stěnu se ve tmě připevní film nebo fotopapír a fotoaparát je připraven k práci. Pokud byste si chtěli sami vyzkoušet výrobu dírkové komory a dozvědět se víc informací, můžete se inspirovat například na těchto webových stránkách: https://www.pinhole.cz/ nebo podrobnější stránka v angličtině: https://jongrepstad.com/pinhole-photography/.

V optice se setkáváme ještě s trochu záhadným pojmem „neskutečný obraz“. K jeho objasnění použijeme obyčejné rovinné zrcadlo. Na obrázku 23.34 vidíte paprsky, jak se odrážejí od zrcadla podle zákona odrazu a některé z nich dopadají do oka pozorovatele. Přestože se bod A nachází před zrcadlem (vlevo), pozorovatel vidí jeho obraz A′ za zrcadlem vpravo. Proč tomu tak je? Oko nemá žádnou informaci o celkovém chodu paprsků prostorem. Určuje polohu předmětu pouze na základě směru, ze kterého přicházejí paprsky. V našem případě oko zaznamená rozbíhavé paprsky, jako by vycházely z bodu A′. Říkáme, že pozorovatel vidí v bodě A′ neskutečný obraz bodu A. Neskutečný obraz bodu je tedy zdánlivý zdroj rozbíhavých paprsků. Jeho polohu najdeme v průsečíku prodloužení rozbíhavých paprsků.

Z geometrické konstrukce na obrázku vyplývá, že rovinné zrcadlo vytváří rozbíhavý svazek světla a proto za zrcadlem pozorujeme neskutečný obraz předmětů. Polohu pozorovaného bodu určuje oko vždy výhradně podle směru odkud do něj přicházejí paprsky.

Obrazy bodů při zobrazení rovinným zrcadlem nemusíme složitě rekonstruovat, jako na obrázku výše. Stačí si uvědomit, že můžeme použít osovou souměrnost. To znamená, že vzdálenost obrazu bodu od zrcadla je vždy stejná jako vzdálenost jeho vzoru.

Příklad 1

Na obrázku je znázorněn princip periskopu, který umožňuje „vidět za roh“. Periskop je tvořen dvěma rovnoběžnými zrcadly, která jsou umístěna pod úhlem 45° v rozích trubice. Světlo z bodu A se pak dostane do oka pozorovatele vyznačeným způsobem. Kde uvidí pozorovatel bod A? Jinými slovy, kde vznikne neskutečný obraz bodu A?

Řešení:

Nejprve velmi jednoduchá odpověď: bod A uvidíme v tom směru, odkud přichází paprsky do oka, tedy vpravo od něj. Pro určení přesné polohy pozorovaného bodu je nutné najít (neskutečný) obrazu bodu A. To můžeme udělat pomocí dvou osových souměrností, jak je naznačeno na obrázku 2.36. Výsledek je v souladu s naši prvním odhadem.

Pro upřesnění je třeba dodat, že osová souměrnost je zobrazení v rovině. Ve skutečnosti však zobrazení probíhá v prostoru, proto se nejedná o osovou souměrnost, ale souměrnost podle roviny zrcadla. Body se zobrazují na kolmicích k rovině zrcadla ve stejné vzdálenosti. Hezky to ilustruje následující obrázek 2.37. Na osové souměrnosti či souměrnosti podle roviny je zajímavé, že vzor a obraz jsou jen nepřímo shodné. Jednoduše řečeno, mají vyměněnou levou a pravou stranu.

Čočky

Primitivní skleněné čočky byly známé již ve starém Řecku a Římě. Bylo možné pomocí nich například zapálit oheň, případně se používaly jako „zvětšovací skla“. K výrobě kvalitních čoček však potřebujeme vhodný druh skla a přesnou techniku jeho broušení. Proto se první brýle objevily až koncem 12. století v severní Itálii a první dalekohledy pak začátkem 17. století v Nizozemí. Také příroda dokázala pomocí evoluce vyvinout čočku jako součást oka obratlovců či chobotnic.

Čočky používáme především k optickému zobrazování. Zobrazení čočkou je možné díky tomu, že čočka mění směr chodu paprsků přesně určeným způsobem. Světlo se láme na rozhraní čočky a okolního prostředí. Konkrétně pak rozlišujeme dva druhy čoček – spojky a rozptylky.

Spojná čočka (spojka) láme světlo tak, že mění rovnoběžný svazek paprsků na svazek sbíhavý. Bod, kde se původně rovnoběžné paprsky protínají, nazýváme ohnisko (F). Vzdálenost ohniska od čočky se nazývá ohnisková délka (\(f\)).

Rozptylná čočka (rozptylka) láme světlo tak, že mění původní rovnoběžný svazek paprsků na svazek rozbíhavý. Bod, ze kterého rozbíhavý svazek zdánlivě vychází, se nazývá ohnisko. U rozptylky leží ohnisko na stejné straně, ze které přichází světlo.

Parametrem, který určuje „sílu“ čočky, je její ohnisková délka \(f\). Silnější čočka láme světlo víc a bude mít ohnisko blíže, její ohnisková délka bude kratší. Podle dohody se dále rozlišuje spojka a rozptylka podle znaménka. Spojky mají ohniskovou délku kladnou, rozptylky zápornou. V praxi se síla čočky často popisuje také pomocí optické mohutnosti. Optická mohutnost je definována jako převrácená hodnota ohniskové délky.

Jednotkou optické mohutnosti je m⁻¹, ale v optice je zvykem tuto jednotku nazývat dioptrie (značka D). „Sílu“ čočky tak můžeme popsat dvěma způsoby. Například spojka s ohniskovou délkou 0,5 m má optickou mohutnost 2 D. Silnější spojka o kratší ohniskové délce 0,1 m bude mít větší optickou mohutnost 10 D.

Kontrolní otázka

Čočky v brýlích mají optickou mohutností –5 D. Jaká je jejich ohnisková délka? Vyberte správnu hodnotu:

\(f = 2\ \mathrm{m}\)
\(f = 2\ \mathrm{cm}\)
\(f = 20\ \mathrm{cm}\)
\(f = -20\ \mathrm{cm}\)
\(f = -2\ \mathrm{cm}\)
\(f = -2\ \mathrm{m}\)

Odeslat  

Optická mohutnost se může jevit jako zbytečná veličina; pro popis síly čočky si vystačíme s ohniskovou délkou. Je tu však jedna praktická výhoda. Pokud umístíme čočky těsně k sobě, pak se celková optická mohutnost rovná součtu optických mohutností jednotlivých čoček. Řečeno matematicky: \(\varphi=\varphi_1+\varphi_2\).

Pojďme se nyní zaměřit na problém, jak vyrobit čočku, aby měla výše uvedené vlastnosti. Většinou se čočky brousí ze skla, ale mohou být i plastové. Volbou materiálu určíme index lomu. Jaký musí mít čočka tvar? Nejjednodušší možností je kulová čočka ohraničená dvěma kulovými plochami, které jsou charakterizované svými poloměry. Na obrázku 23.41 vidíme tři různé čočky (přesněji jejich 2D provedení) na optické tabuli. Všimněte si, že čočky na obrázku mají jednu stranu rovnou. Rovinu můžeme chápat jako kulovou plochu o nekonečném poloměru. Přesný vztah pro ohniskovou délku kulové čočky najdete v poznámce.

Poznámka na okraj: Ohnisková délka kulové čočky

Ohnisková vzdálenost je základní parametr čočky, který závisí obecně na poloměrech křivosti čočky \(r_1\) a \(r_2\), tloušťce čočky \(d\) a na jejím indexu lomu \(n\) podle následujícího vztahu (za předpokladu, že okolí má index lomu roven 1):

\[ \frac1f = (n-1)\left(\frac1{r_1}-\frac1{r_2}\right) + \frac{d(n-1)^2}{nr_1r_2} \]

Vidíme, že uvedený vztah je poměrně komplikovaný, ale dá se pomocí základní aproximace a vhodně zvolené čočky výrazně zjednodušit. Pokud využijeme aproximace tenké čočky, u které lze tloušťku čočky zanedbat (\(d=0\ \mathrm{m}\)), tak se vynuluje poslední člen v předcházející rovnici. Dostaneme vztah

\[ \frac1f = (n-1)\left(\frac1{r_1}-\frac1{r_2}\right) \]

Pokud navíc zvolíme ploskovypuklou čočku (jedna strana je rovná), která má jeden z poloměrů křivosti roven nekonečnu, tak dojde opět k dalšímu zjednoduší rovnice:

\[ \frac1f = (n-1)\frac1{r_1} \quad\Rightarrow\quad f = \frac{r_1}{n-1} \]

Tento zjednodušený vztah dává do přímé souvislosti dva základní parametry čočky (index lomu \(n\) a poloměr křivosti \(r_1\)) s ohniskovou vzdáleností čočky \(f\).

Kulová čočka ovšem neláme světlo zcela přesně. Při zobrazování pak vznikají nejrůznější vady. Pro konstrukci kvalitních optických přístrojů se proto používají čočky složitějšího tvaru, případně také kombinace více čoček a kombinace různých materiálů. Dvě nejdůležitější optické vady shrnují následující obrázky 23.42 a 23.43.

Geometrická konstrukce zobrazení

V tomto odstavci se seznámíme s jednoduchým postupem, jak můžeme pomocí geometrie konstruovat obrazy předmětů, které vytváří čočky. Pro tento účel budeme používat následující pojmy. Jejich znázornění můžete sledovat na obrázku 23.45.

Optická osa je přímka procházející středem spojky, která je na ni kolmá.

Tenká čočka je čočka, jejíž tloušťku je možné zanedbat. Proto ji budeme znázorňovat jako úsečku.

Ohnisko spojky je bod, kde se sbíhají původně rovnoběžné paprsky. Ohnisko rozptylky je bod, ze kterého zdánlivě vycházejí původně rozbíhavé paprsky. Každá čočka má dvě ohniska ležící souměrně na obou stranách.

Význačné paprsky jsou vybrané paprsky, které používáme ke konstrukci obrazu.

1) Paprsek procházející středem čočky po průchodu čočkou nemění svůj směr.

2a) Spojka: paprsek rovnoběžný s optickou osou se po průchodu čočkou láme do ohniska.
2b) Rozptylka: paprsek rovnoběžný s optickou osou se láme tak, že zdánlivě vychází z ohniska.

3a) Spojka: paprsek procházející ohniskem se láme na rovnoběžný s optickou osou.
3b) Rozptylka: paprsek směřující do ohniska na druhé straně čočky se láme na rovnoběžný s optickou osou.

Ke konstrukci obrazu stačí použít k získání průsečíku pouze dva význačné paprsky. Třetí paprsek může posloužit jako kontrolní.

Většinou chceme sestrojit obraz konkrétního předmětu. K tomu nám stačí vybrat si libovolný bod tohoto předmětu, který neleží na optické ose, a provést jeho zobrazení pomocí význačných paprsků. Předmět pak znázorňujeme schematicky pomocí šipky. Na ukázku jsou na následujícím obrázku provedeny dvě konstrukce obrazu pro konkrétní spojku a rozptylku.

Provedené zobrazení nám umožňuje z konstrukce „vyčíst“ důležité vlastnosti obrazu.

1. Je obraz skutečný nebo neskutečný? Skutečný obraz vytváří sbíhavé paprsky (první konstrukce), zatímco neskutečný obraz se nachází ve zdánlivém zdroji rozbíhavých paprsků (druhá konstrukce).
2. Je obraz zvětšený nebo zmenšený? Zvětšení určíme snadno pomocí poměru velikostí šipek. V první konstrukci jde o zvětšený obraz a naopak v druhé o zmenšený.
3. Je obraz přímý nebo převrácený? Jsou-li předmět i obraz na stejné straně optické osy a šipky míří stejným směrem, jde o přímý obraz (druhá konstrukce). V opačném případě se jedná o převrácený obraz (první konstrukce).

Vlastnosti obrazu závisí na druhu čočky, ale také na vzdálenosti předmětu od čočky. Abyste nemuseli dlouho rýsovat, doporučujeme rozpohybovat si zobrazení pomocí geogebry. Na základě této simulace pak můžete snadno vyřešit následující příklad.

Spojka v geogebře: https://www.geogebra.org/m/yspcx4b8

Rozptylka v geogebře: https://www.geogebra.org/m/qm23pjzg

Příklad 2

Doplňte druhý sloupec tabulky pro typické vzdálenosti předmětu od spojky.

předmětová vzdálenost \(a\)	vlastnosti obrazu
\(a > 2f\)
\(a = 2f\)
\(2f > a > f\)
\(a = f\)
\(f > a > 0\)

V případě rozptylky je situace mnohem jednodušší. Tabulka má jediný řádek.

předmětová vzdálenost \(a\)	vlastnosti obrazu
\(a > 0\)

Řešení:

Spojka

předmětová vzdálenost \(a\)	vlastnosti obrazu
\(a > 2f\)	převrácený, skutečný a zmenšený
\(a = 2f\)	převrácený, skutečný a stejně velký
\(2f > a > f\)	převrácený, skutečný a zvětšený
\(a = f\)	přímý obraz v nekonečnu
\(f > a > 0\)	přímý, neskutečný a zvětšený

Rozptylka

předmětová vzdálenost \(a\)	vlastnosti obrazu
\(a > 0\)	přímý, neskutečný a zmenšený

Chcete-li si rýsování obrazů trochu procvičit pomocí tužky a pravítka, můžete si stáhnout tento pracovní list.

Zobrazovací rovnice

Už víme, jak najít obraz geometrickou konstrukcí a jaké může mít vlastnosti. Existuje ale ještě jeden elegantnější způsob, jak popsat zobrazení, a to výpočtem pomocí zobrazovací rovnice čočky. Ta popisuje souvislost mezi ohniskovou délkou \(f\), vzdáleností předmětu \(a\) a vzdáleností obrazu \(a'\). Kromě toho můžeme přesně vypočítat také zvětšení čočky \(Z\), a to jako podíl velikosti obrazu \(y'\) a velikosti předmětu \(y\). Veličiny jsou přehledně vyznačeny na obrázku 23.47.

Zobrazovací rovnice vyjadřuje vztah mezi veličinami \(a\), \(a'\) a \(f\):

Zobrazovací rovnici je možné elegantně odvodit pomocí podobných trojúhelníků, což je provedeno v poznámce.

Poznámka na okraj: Odvození zobrazovací rovnice čočky

V obrázku jsou vybarvené dvojice podobných trojúhelníků.

Z obrázku plyne, že \(a'/a=y'/y\) (modré trojúhelníky) a \(y'/y=(a'-f)/f\) (zelené trojúhelníky).

Porovnáním obou rovnic dostaneme

\[ \frac{a'}a=\frac{a'-f}f\;. \]

Odtud pak násobením af získáme

\[ fa' = aa' - af \quad\Rightarrow\quad fa' + fa = aa'\;. \]

Poslední rovnici vydělíme \(aa'f\) a dostaneme

\[ \frac1a + \frac1{a'} = \frac1f \]

Abychom mohli pomocí zobrazovací rovnice řešit všechny úlohy, je potřeba dodržovat určitý systém ve znaménkách použitých veličin:

Nyní je již používání zobrazovací rovnice velmi snadné. Je to elegantnější a rychlejší metoda než geometrická konstrukce.

Příklad 3

Zobrazujeme spojkou o ohniskové délce 2 cm. Předmět se nachází 80 cm od čočky. Určete polohu a vlastnosti obrazu.

Řešení:

Ze zadání vyplývá, že \(f=2\ \mathrm{cm}\) a \(a=80\ \mathrm{cm}\). Ze zobrazovací rovnice nejprve vyjádříme neznámou \(a'\):

\[\begin{aligned} \frac1a + \frac1{a'} &= \frac1f\\ \frac1{a'} &= \frac1f - \frac1a\\ a' &= \frac{af}{a-f}\\ \end{aligned}\]

Nyní můžeme dosadit hodnoty v cm a dostáváme

\[ a' = \frac{80\cdot2}{80-2}\ \mathrm{cm} = 2{,}05\ \mathrm{cm}\;. \]

Pro zvětšení platí:

\[ Z = -a'/a = -2{,}05/80 = -0{,}025\;. \]

Závěr: Vznikne skutečný, převrácený, zmenšený obraz ve vzdálenosti 2,05 cm od čočky. Obraz bude zmenšený na 0,025 násobek své původní velikosti. Přesná konstrukce této úlohy není možná, protože poměr velikosti předmětu a obrazu je příliš velký. Situace zhruba odpovídá zobrazení v lidském oku.

Příklad 4

Zobrazujeme spojkou o ohniskové délce 40 mm. Předmět se nachází 36 mm od čočky. Určete polohu a vlastnosti obrazu.

Řešení:

Vycházíme z obecného řešení předchozího příkladu.

\[ a' = \frac{af}{a-f} = \frac{36\cdot40}{36-40}\ \mathrm{mm} = -360\ \mathrm{mm}\;. \] \[ Z = -a'/a = 360/40 = 9\;. \]

Závěr: Pozorujeme neskutečný, přímý, zvětšený obraz ve vzdálenosti 360 mm před čočkou. Obraz bude zvětšený na devítinásobek své původní velikosti. Situace odpovídá zobrazení lupou, kterou ještě podrobněji probereme později.

Zrcadla

Kromě čoček můžeme ke zobrazování používat také zrcadla. Kromě rovinného zrcadla se nabízí také zrcadla zakřivená. Spojka se chová podobně jako duté zrcadlo, rozptylka pak jako vypuklé zrcadlo. Vše je přehledně znázorněno na obrázku 23.49.

Podobně jako u čoček, je nejjednodušší možností zrcadlo tvořené částí kulového povrchu. To je charakterizované poloměrem křivosti \(r\). Pro jeho ohniskovou délku pak platí:

Zrcadlo, které netrpí kulovou vadou, se nazývá parabolické a má tvar rotačního paraboloidu. Navíc u zrcadel není problém s disperzí způsobující barevnou vadu čoček. Proto se zrcadla používají třeba v astronomických dalekohledech. Na druhou stranu má zrcadlo jednu podstatnou nevýhodu. Skutečný obraz vzniká na stejné straně jako předmět, proto se zrcadla nehodí pro běžná zobrazovací zařízení, jako jsou fotoaparáty.

Oba nástroje pro hledání polohy obrazu fungují také pro zrcadla. Při konstrukci pomocí význačných paprsků pouze místo lomených paprsků rýsujeme paprsky odražené. V případě zobrazovací rovnice se pouze prohodí význam znaménka polohy obrazu. Kladné \(a'\) znamená obraz před zrcadlem (skutečný) a záporné \(a'\) znamená obraz za zrcadlem (neskutečný).

Příklad 5

Duté zrcadlo se používá v reflektorech k vytváření málo rozbíhavých svazků světla. Najdete je například v dálkových světlech u aut nebo jako osvětlení na koncertech. V jaké pozici vůči zrcadlu se musí nacházet zdroj světla, aby vznikl rovnoběžný svazek paprsků? Popsanou situaci načrtněte.

Řešení:

Zdroj světla se musí nacházet v ohnisku dutého zrcadla (nejlépe parabolického).

Příklad 6

Kosmetické zrcadlo je duté zrcadlo, ve kterém se můžete vidět „zvětšeně“. Uvažujme kosmetické zrcadlo o ohniskové délce 30 cm.

1. V jaké vzdálenosti musí být obličej člověka, aby mohl v zrcadle pozorovat svůj neskutečný, zvětšený a přímý obraz?
2. Vypočítejte, jak se zobrazí předmět, který je ve vzdálenosti 20 cm od zrcadla.

Řešení:

a) Obličej člověka se musí nacházet mezi zrcadlem a ohniskem, tedy maximálně 30 cm od zrcadla.

b) Duté zrcadlo se chová stejně jako spojka, použijeme zobrazovací rovnici.

\[\begin{aligned} \frac1a + \frac1{a'} &= \frac1f\\ \frac1{a'} &= \frac1f - \frac1a\\ a' &= \frac{af}{a-f}\\ \end{aligned}\]

Nyní můžeme dosadit hodnoty v cm a dostáváme

\[ a' = \frac{20\cdot30}{20-30}\ \mathrm{cm} = -60\ \mathrm{cm}\;. \]

Pro zvětšení platí:

\[ Z = -a'/a = -(-60)/20 = 3\;. \]

Čočky a zrcadla

Optické přístroje

Oko

V poslední části této kapitoly se budeme věnovat využití zobrazení v konkrétních optických přístrojích. Jednoznačně nejdůležitějším optickým „přístrojem“ je pro nás oko. Lidský zrak vyvinula evoluce do téměř dokonalé podoby a je pro nás nejdůležitějším smyslem. Pojďme nyní prozkoumat jeho fungování. K vytvoření zrakového vjemu jsou potřeba tři kroky:

1. Optické zobrazení
2. Přeměna světla na nervový vzruch
3. Zpracování obrazu

Oko slouží k vytvoření ostrého obrazu a jeho přeměně na nervový vzruch. Zpracování obrazu se pak děje v mozku. Nejdůležitější části oka vidíte na obrázku 23.52.

Oko se chová jako spojka s proměnnou ohniskovou délkou. Vytváří skutečný zmenšený a převrácený obraz skutečnosti. Lom světla probíhá na rohovce a na čočce, přičemž nejsilnější je hned první lom na rozhraní vzduch – rohovka. Zatímco tvar rohovky je stálý, čočka se může deformovat a tím mírně měnit svoji optickou mohutnost. Deformaci čočky (akomodaci) zajišťují svaly v řasnatém tělísku. Zdravé oko dokáže díky tomu vytvořit na sítnici ostrý obraz předmětů ve vzdálenostech zhruba od 20 cm do nekonečna.

Kontrolní otázka

Průměr oční koule člověka je cca 2 cm. Na základě tohoto údaje určete, jaká je přibližně optická mohutnost oka. Napište hodnotu v dioptriích:

Odeslat

Ohnisková délka musí odpovídat průměru oka, proto \(f=0{,}02\ \mathrm{m}\) a \(\varphi=1/f=50\ \mathrm{D}\). Optická mohutnost oka je ve skutečnosti cca 60 D.

Pro konkrétní oko definujeme blízký bod – minimální vzdálenost předmětu, který dokáže oko ještě zaostřit. A naopak vzdálený bod – maximální vzdálenost předmětu, který dokáže zaostřit. Pokud není váš vzdálený bod v nekonečnu, poznáte to jednoduše tak, že vzdálené předměty nevidíte zcela ostře. Blízký bod si můžete snadno změřit sami. Vezměte nějaký text a najděte nejmenší vzdálenost, ze které na něj dokážete zaostřit. Možná jste si všimli, že zaostřování na velmi krátkou vzdálenost je trochu nepříjemné. Je to tím, že čočku je třeba deformovat do krajní polohy. Proto byla dohodou stanovena vzdálenost, ze které byste měli být schopni číst pohodlně bez zbytečného namáhání oka:

Konvenční zraková vzdálenost \(d=25\ \mathrm{cm}\).

Podle polohy blízkého a vzdáleného bodu rozlišujeme dvě nejčastější oční vady:

Krátkozrakost (myopie)

Hlavním příznakem krátkozrakosti je neostré vidění na větší vzdálenosti. Vzdálený bod oka je blíž než v nekonečnu. Je to tím, že paprsky se sbíhají už před sítnicí, a na sítnici tedy nevzniká ostrý obraz. Krátkozrakost se napravuje rozptylkou, která sníží optickou mohutnost oka a posune ostrý obraz na sítnici.

Myopie je nejčastěji způsobena špatnou anatomií oka, kdy jeho velikost neodpovídá optické mohutnosti. Vada se proto vyvine většinou během dospívání. Zajímavé je, že krátkozrakost je typická civilizační nemoc. V Evropě už postihuje víc jak čtvrtinu obyvatel a toto číslo neustále roste. Naopak u přírodních národů je myopie poměrně vzácná. Lékaři přišli na to, že na rozvoj myopie mají kromě genetiky zásadní vliv dva faktory. Jde o čas strávený venku a čas strávený zaostřením na blízký předmět (mobil, počítač, kniha).

Dalekozrakost (hyperopie)

Hlavním příznakem dalekozrakosti je nemožnost zaostřit blízké předměty (blízký bod je příliš daleko). Člověk potřebuje „brýle na čtení“. Optická mohutnost oka je příliš malá a ostrý obraz vzniká až za sítnicí. Proto se dalekozrakost napravuje spojkou.

Hyperopie nejčastěji vzniká tak, že s přibývajícím věkem klesá pružnost oční čočky a ta se již nedokáže dostatečně deformovat. Špatná zpráva pro osoby s krátkozrakostí je, že dalekozrakost ji nekompenzuje. Člověk pak trpí oběma vadami současně a potřebuje dvoje brýle.

Kontrolní otázka

Petrův zrak není v pořádku. Vzdálený bod jeho oka se nachází ve vzdálenosti 4 m. O jakou oční vadu se jedná?

Krátkozrakost,
dalekozrakost.

Odeslat  

Kontrolní otázka

Jaký druh brýlí bude Petr potřebovat ke korekci této vady?

Spojky,
rozptylky.

Odeslat  

Příklad 1

Martin už není nejmladší a trpí dalekozrakostí. Jeho oko má blízký bod ve vzdálenosti 70 cm. Pro práci na počítači a čtení potřebuje brýle. Vypočítejte, jakou optickou mohutnost brýlí bude Martin potřebovat, aby mohl zase číst z konvenční zrakové vzdálenosti 25 cm.

Řešení:

Předmět se nachází v oblasti, kam Martin nedokáže zaostřit. Role brýlí spočívá v tom, že vytvoří neskutečný obraz předmětu ve vzdálenosti, kam oko zaostřit dokáže. V tomto případě proto potřebujeme vytvořit neskutečný obraz předmětu ve vzdálenosti 70 cm před čočkou. K tomu použijeme spojku, kde \(a=25\ \mathrm{cm}\), \(a'=-70\ \mathrm{cm}\) (hodnota je záporná, protože obraz bude před čočkou). Tyto hodnoty můžeme dosadit do zobrazovací rovnice a vypočítat potřebnou ohniskovou délku \(f\):

\[\begin{aligned} \frac1a + \frac1{a'} &= \frac1f\\ \frac1f &= \frac{aa'}{a+a'} = 39\ \mathrm{cm} = 0{,}39\ \mathrm{m}\;.\\ \end{aligned}\]

Optickou mohutnost pak určíme jako převrácenou hodnotu ohniskové délky: \(\varphi=1/f=2{,}6\ \mathrm{D}\).

Vraťme se ještě jednou k fungování zraku. K převodu světla na nervový vzruch slouží sítnice. Je tvořena dvěma druhy buněk, které reagují na světlo. Tyčinky jsou citlivější, ale reagují pouze na intenzitu světla. Pomocí tyčinek dokážeme vidět za šera. Čípky jsou méně citlivé, ale pro náš zrak důležitější, protože zajišťují barevné vidění (o barevném vidění se dočtete podrobněji v kapitole 24). Odhaduje se, že tyčinek je cca 120 miliónů, zatímco čípků jen asi 7 milionů. Čípky jsou však vysoce koncentrované do oblasti žluté skvrny, což je místo, kde optická osa oka protíná sítnici. Pouze v této malé části sítnice vzniká ostrý obraz. Celý zbytek sítnice slouží jen k perifernímu vidění. Tuto situaci ilustruje následující obrázek.

Hustota buněk na sítnici v oblasti žluté skvrny určuje, jak jemné detaily dokážeme rozlišit. Tento důležitý parametr se nazývá rozlišovací schopnost oka. Je definována pomocí zorného úhlu (viz obrázek 23.56).

Z obrázku vyplývá, že pro zorný úhel platí \(\tan\alpha=y/x\). Rozlišovací schopnost oka je definována jako minimální zorný úhel, pod kterým ještě dokážeme rozlišit dva body. Platí:

Rozlišovací schopnost oka \(\alpha_\mathrm{MIN}=1'=1/60^\circ\).

Pokud dosadíme do vztahu \(\tan\alpha=y/x\) hodnotu \(\alpha_\mathrm{MIN}=1'\), můžeme snadno vypočítat, jak velké objekty (jak vzdálené body) dokážeme rozeznat z určité vzdálenosti. Rozlišovací schopnost oka si můžete sami změřit v kapitole 24.

Příklad 2

Vypočítejte, jak vzdálené body dokážeme okem rozlišit

1. při čtení (\(x=d=25\ \mathrm{cm}\)),
2. na druhém konci třídy (\(x=10\ \mathrm{m}\)),
3. na Měsíci (\(x=380\,000\ \mathrm{km}\)).

Řešení:

Nejprve provedeme obecné řešení úlohy:

\[ \tan\alpha = \frac yx \quad\Rightarrow\quad y = x\tan\alpha = x\tan(1') = 0{,}000\,29\cdot x\;. \]

Nyní dosadíme zadané vzdálenosti \(x\) a výsledky zaokrouhlíme:

1. čtení: \(y=0{,}07\ \mathrm{mm}\)
2. třída: \(y=3\ \mathrm{mm}\)
3. Měsíc: \(y=100\ \mathrm{km}\)

Pomocí zorného úhlu určuje člověk také velikost předmětů. Ale pozor, jde o relativní, nikoliv absolutní velikost. Dobrým příkladem je Slunce a Měsíc. Oba objekty se nám jeví na obloze stejně velké, protože je pozorujeme oba přibližně pod stejným zorným úhlem cca 0,5°. Pokud však neznáme jejich vzdálenosti od Země, nelze jejich velikost srovnávat.

Na závěr se krátce zmíníme o zpracování obrazu v mozku. Informace z tyčinek a čípků putují zrakovým nervem do zrakového centra. V této části mozku probíhá třídění a zpracování informací. Uvažte, že „datový tok“, který přichází z očí do mozku je obrovský – odhaduje se že jde o několik desítek GB za sekundu. Centrum zraku funguje zjednodušeně řečeno tak, že rozpoznává v záplavě přicházejících dat známé tvary a přiřazuje jim určitý význam. Teprve takto filtrované a zjednodušené informace putují do našeho vědomí.

Fotoaparát

Fotoaparát (nebo kameru) můžeme považovat za technickou kopii lidského oka. Jejich význam je podobný – slouží k vytvoření zmenšeného skutečného obrazu reality. Následující obrázek 23.58 ukazuje „anatomii“ obvyklého fotoaparátu.

Objektiv může být v nejjednodušším případě tvořen jedinou spojkou, jako je na obrázku. Pokud je objektiv tvořen více čočkami, je jeho konstrukce složitější, ale význam zůstává stejný. Zaostřování se děje, narozdíl od oka, posunem čočky vůči snímači. Nejdůležitějším parametrem každého objektivu je jeho ohnisková délka. Objektiv s velkou ohniskovou délkou má úzký záběr a naopak (viz obrázek 23.59). Označení ZOOM pak znamená objektiv s měnitelnou ohniskovou délkou.

Clona je kruhový otvor s měnitelným průměrem a slouží k regulaci množství světla, dopadajícího na snímač (ke stejnému účelu slouží duhovka v oku). Množství světla, které dopadne na snímač, je dále možné ovlivnit ještě expozičním časem a také citlivostí snímače. V dnešních fotoaparátech a kamerách za nás správné nastavení osvětlení hlídá elektronika.

Snímač je tvořen speciálním typem čipu, který obsahuje velké množství „buněk“ tvořených fototranzistory. Jejich počet se u běžných snímačů pohybuje v nižších jednotkách milionů a udává se v jednotkách megapixel. Každý pixel má vyhrazeno celkem 24 bitů, to je \(2^{24}=16\,777\,216\) barevných odstínů. Ty vzniknou kombinací intenzity tří barevných kanálů (RGB) po 8 bitech. Více o barevném modelu RGB se dočtete v kapitole 24.

Příklad 3

Vypočítejte, kolik MB informace obsahuje barevná fotografie s rozlišením 16 megapixelů.

Řešení:
\[ 24\ \hbox{bitů}\cdot16\cdot10^6\ \hbox{pixelů} = 384\cdot10^6\ \hbox{bitů} = 48\ \mathrm{MB}\;. \]

Poznámka: Ve skutečnosti vám tato fotografie zabere pouze něco kolem 6 MB, protože data se ukládají v komprimovaném formátu (např. JPEG). Komprese je pak naprostou nezbytností u videa, kde každou sekundu vznikne minimálně 24 takových obrázků.

Fotografie

Mikroskop a dalekohled

Na závěr se budeme věnovat přístrojům, které mají za úkol zvětšovat zorný úhel. Představte si, že stojíte 10 m daleko od nápisu, který si chcete přečíst. Písmena jsou malá a vy nápis nepřečtete, zorný úhel je příliš malý. Stačí přijít blíž, zorný úhel se zvětší a vy si můžete nápis v klidu přečíst. Problém nastane v případě, že pozorovaný předmět je tak malý, že blíž už oko dát nemůžete, neboť narazíte na blízký bod vašeho oka. V takovém případě potřebujete lupu nebo mikroskop. Někdy není problém ve velikosti předmětu, ale ve vzdálenosti. K hvězdě či planetě prostě blíž přijít nemůžete. V takovém případě budete potřebovat dalekohled. Zvětšení zorného úhlu popisujeme pomocí úhlového zvětšení. Je to poměr nového a původního zorného úhlu.

Příklad 4

Lupu používáme tak, že pozorovaný předmět umístíme do ohniska spojky. Dejme tomu, že máme hodinářskou lupu s ohniskovou délkou 5 cm a pozorovaný předmět má velikost 4 mm.

1. Pomocí konstrukce nebo výpočtu určete, vlastnosti a polohu obrazu vytvořeného lupou.
2. Vypočítejte zorný úhel, pod jakým pozorujeme předmět pomocí lupy.
3. Vypočítejte zorný úhel, pod jakým pozorujeme předmět bez lupy z konvenční zrakové vzdálenosti \(d=25\ \mathrm{cm}\).
4. Určete úhlové zvětšení lupy.
5. Dokažte, že pro úhlové zvětšení lupy platí jednoduchý přibližný vztah \(\gamma=d/f\), kde \(d\) je konvenční zraková vzdálenost a \(f\) je ohnisková délka použité čočky.

Řešení:

a) Použijeme-li zobrazovací rovnici a dosadíme \(f=50\ \mathrm{mm}\), \(a=50\ \mathrm{mm}\), Vyjde nám, že \(a'\) nelze vypočítat, neboť ve zlomku dělíme nulou. Fyzikálně to znamená, že obraz vzniká v nekonečnu. Pro snadnější vyřešení dalších otázek bude dobré si vytvořit náčrtek této situace.

b) Zorný úhel je v náčrtku označen jako \(\alpha\). Z pravoúhlého trojúhelníku vyplývá, že

\[ \tan\alpha = \frac ya = \frac yf = \frac{4}{50} = 0{,}08\;. \]

Odtud \(\alpha=4{,}6^\circ\).

c) Zorný úhel při pozorování okem označíme \(\beta\). Platí

\[ \tan\beta = \frac yd = \frac{4}{250} = 0{,}016\;. \]

Odtud \(\beta=0{,}9^\circ\).

d) Úhlové zvětšení lupy je poměr zorných úhlů: \(\gamma=\alpha/\beta=5\).

e) Pro úhlové zvětšení platí \(\gamma=\alpha/\beta\). Pro malé úhly můžeme použít přibližný vztah \(\alpha/\beta\approx\tan\alpha/\tan\beta\). Pak už stačí dosadit:

\[ \gamma = \frac{\alpha}{\beta} \approx \frac{\tan\alpha}{\tan\beta} = \frac{y/f}{y/d} = \frac yd\; \]

V příkladu jsme dokázali, že úhlové zvětšení lupy (s předmětem v ohnisku) můžeme určit jako \(\gamma=d/f\), kde \(d\) je konvenční zraková vzdálenost a \(f\) je ohnisková délka použité čočky. Ale toto úhlové zvětšení je omezeno tím, že ohniskovou délku čočky nelze zmenšovat libovolně. Čím silnější je čočka, tím větší problém představují její optické vady. Naštěstí můžeme použít dvě nebo více čoček a vytvořit tak mikroskop.

Mikroskop

Základní schéma mikroskopu vidíme na obrázku. Spojku s menší ohniskovou vzdáleností, která je blízko pozorovanému předmětu y, označujeme jako objektiv. Objektiv vytváří skutečný, převrácený a zvětšený obraz \(y'\). Ten vzniká záměrně v blízkosti ohniska druhé spojky s větší ohniskovou vzdáleností, kterou označujeme jako okulár. Okulár vytváří neskutečný, zvětšený a přímý obraz \(y''\), který pozorujeme okem.

Pro úhlové zvětšení mikroskopu můžeme odvodit vztah:

kde \(\Delta=|F_2F_{1'}|\) je vzdálenost ohnisek objektivu a okuláru, \(f_\mathrm{OB}\) je ohnisková délka objektivu, \(f_\mathrm{OK}\) je ohnisková délka okuláru a \(d=25\ \mathrm{cm}\) je konvenční zraková vzdálenost.

Úhlové zvětšení optického mikroskopu je v praxi omezeno hodnotou cca 1 000. Tento limit nevyplývá ze vztahu pro zvětšení, je totiž způsoben vlnovými vlastnostmi světla.

Keplerův dalekohled

Pomocí dvou spojek můžeme vytvořit také určitý druh dalekohledu, který se po svém objeviteli nazývá Keplerův. Jeho schéma vidíme na obrázku 23.65. Pozorovaný předmět se nachází v nekonečnu a bez dalekohledu bychom jej pozorovali pod úhlem \(\alpha\). Objektiv (první spojka) vytváří skutečný, převrácený a zmenšený obraz \(y'\). Okulár (druhá spojka) pak slouží jako lupa. Vytváří neskutečný obraz \(y''\) v nekonečnu, který pozorujeme okem.

Pro úhlové zvětšení Keplerova dalekohledu platí:

kde \(f_\mathrm{OB}\) je ohnisková délka objektivu a \(f_\mathrm{OK}\) je ohnisková délka okuláru.

Keplerovým dalekohledem vidíme sledovaný objekt převrácený, což v astronomii nevadí. Pro pozemská pozorování bývá chod paprsků v dalekohledu upraven pomocí hranolů tak, aby výsledný obraz nebyl převrácený. Takto upravený dalekohled se nazývá triedr. Rozlišovací schopnost dalekohledu je limitována vlnovými vlastnostmi světla, podobně jako u mikroskopu. Kromě samotného zvětšení má zásadní význam také průměr objektivu. Podrobněji o tom pojednává článek v kapitole 24. V astronomii se dnes už Keplerova konstrukce dalekohledu příliš nepoužívá. Většinou se setkáme se zrcadlovými dalekohledy, neboť zrcadla je možné vyrobit větší a netrpí barevnou vadou.