Fermatův princip

Francouzský matematik Pierre de Fermat objevil v roce 1662 jednoduchý princip, který popisuje šíření světla v prostoru:

„Světlo se mezi dvěma body šíří po takové dráze, aby ji urazilo za nejkratší dobu.“

Fermatův princip neřeší otázku, „proč“ se světlo šíří právě takovým způsobem. Na otázk,u „jak“ se světlo šíří, však odpovídá s geniální jednoduchostí. Z této jediné věty je možné odvodit všechny zákony geometrické optiky.

Platnost Fermatova principu dobře ukazuje pokus se slanou vodou v akváriu (viz obrázek 23.1). Do vody nasypeme větší množství soli a necháme roztok několik hodin odstát. Slaná voda je těžší a bude se držet u dna, koncentrace soli bude s výškou slábnout. Do vody posvítíme laserem. Ve slané vodě se světlo šíří pomaleji, proto se paprsek laseru ohne. Světlo dorazí do cíle dřív, pokud si „zkrátí“ cestu méně slanou vodou, kde je rychlejší. Přesně podle Fermatova principu.

Nyní si můžete sami vyzkoušet použít Fermatův princip ve třech jednoduchých situacích. Pro větší názornost si můžete místo světla představit mravence, který má dojít z bodu A do bodu B v co nejkratším čase. Jakou cestu zvolí a proč? Řešení se pokuste „odhadnout“ na základě geometrických konstrukcí. Přesné matematické řešení lomu světla ve třetím příkladu vyžaduje použití derivace.

1. Homogenní prostředí

   Body A a B se nacházejí v prostředí, kde je rychlost světla ve všech místech stejná. (Takové prostředí nazýváme homogenní.)

   

2. Odraz

   Body A a B se nacházejí v homogenním prostředí. Přidáme ale podmínku, že světlo se musí cestou „dotknout“ zrcadla ve spodní části obrázku.

   

3. Lom

   Mezi body A a B se nachází rozhraní dvou různých prostředí (například voda a vzduch). V horním prostředí se světlo šíří větší rychlostí než ve spodním.

   

Hrátky se stínem

Stín, který vrhá předmět na stěnu, poskytuje o samotném předmětu velmi málo informací. Díky stínu známe obrys tělesa jen pro danou polohu světelného zdroje.

Díky tomu může těleso vrhat dva různé stíny, které k sobě zdánlivě nepatří. Třeba i obyčejná krychle může mít stín ve tvaru čtverce, ale také stín ve tvaru pravidelného šestiúhelníku.

Úkol č. 1

Vyrobte (třeba z krabiček od sirek) těleso, které při jednom natočení vrhá stín ve tvaru písmene T a ve druhém směru stín ve tvaru písmene U.

Umělecky nadaní jedinci mohou vytvořit těleso, jehož jeden stín má obrys kočky a druhý myši. Chcete-li se inspirovat, zadejte do vyhledávače „shadow art“. Fandové do 3D tisku si mohou vytvořit svůj shadow art také pomocí 3D tisku.

Nejlepším zdrojem světla pro projekci stínu je Slunce. Sluneční paprsky, které dopadají na vaši dlaň, jsou prakticky rovnoběžné, neboť zdroj se nachází ve vzdálenosti 150 000 000 km. To znamená, že velikost stínu nezáleží na vzdálenosti předmětu a projekční plochy.

Úkol č. 2

Co se dá říct o velikosti stínů vytvořených pomocí blízkých zdrojů světla (třeba pomocí svítilny na mobilu)? Najděte přesnou souvislost mezi velikostí stínu a vzájemnou polohou zdroje, předmětu a projekční plochy.

Další zajímavou věcí, kterou můžete pozorovat, je rozmazání okrajů stínu. Tomuto neúplnému stínu se říká polostín. Na fotografii je stín krychle a stín ruky, která byla při pořízení snímku asi 1,5 metru vzdálená.

Fotografové mají polostíny rádi, protože ostré stíny dokážou znehodnotit fotografii – například portréty. Na snímcích je obličej osvětlený Sluncem (ostré stíny) a osvětlený světlem rozptýleným okolními objekty (měkké polostíny).

Úkol č. 3

Pokuste se sami vysvětlit příčinu vzniku polostínu. Na čem závisí jeho velikost? Pokud máte možnost, pokuste se vyfotit sami několik fotografií s různým druhem osvětlení a zaměřit se na stíny a polostíny.

Pokusy s čočkami

Vezměte si spojnou čočku (třeba lupu) a podívejte se přes ni na okolní svět (vynechejte přímý pohled do Slunce). Pohled na okolní předměty je značně zdeformovaný a silně závisí na tom, jak daleko od oka máte čočku, a taky na tom, jak daleko za čočkou se pozorované předměty nacházejí.

Úkol č. 1: Proveďte rychlý pokus, jehož cílem bude najít různé možnosti, které mohou nastat při zobrazování spojkou. Zkoumejte všechny možné polohy čočky, předmětu a oka. Poté vyměňte oko za bílý papír a vytvořte obraz přímo na něj. Své výsledky poté porovnejte s ostatními skupinami.

Úkol č. 2: V této části se budeme zabývat podrobněji situací, kdy jsou předměty velmi vzdálené. Asi nejvzdálenějším předmětem, který můžeme snadno zobrazit, je Slunce. Světlo, které z něj dopadá na lupu, je tvořeno prakticky rovnoběžnými paprsky. Promítněte obraz Slunce na svou dlaň. Pozor – velmi rychle to začne pálit! V místě, kde vzniká obraz Slunce, lze zapálit předměty (snadno zapálíte sirku, papír už obtížněji). Proto se tomuto místu říká ohnisko.

Zkuste promítnout na stěnu (papír, dlaň) obraz vzdálených předmětů (oblaka na obloze, domy za oknem). Zjistíte, že jejich obraz vzniká také v ohnisku. Pro běžnou lupu jsou předměty ležící dál než 10 metrů „nekonečně“ daleko (zobrazují se prakticky do ohniska). Nyní si vezměte pravítko a změřte, v jaké vzdálenosti od čočky se nachází její ohnisko. Tato vzdálenost se nazývá ohnisková délka čočky. Pokud máte k dispozici dvě různé spojné čočky, porovnejte jejich ohniskové délky.

Anaglyf

Na základě informací v článku vytvořte stručný návod (v češtině), jak vytvořit 3D snímek pomocí anaglyfu. Poté postup sami prakticky ověřte vytvořením vlastní 3D fotografie.

Human eyes are located about 7 cm apart on the face. Therefore, each eye perceives reality from a different angle. Our eyes do not see exactly the same thing. Try holding a finger in front of your eyes and alternately closing your left and right eye. You will see two different images. But when you focus on the finger, your brain will merge two different images into one. This is called stereoscopic vision and provides us with a three-dimensional picture of the world.

Anaglyph is one of the simplest methods of displaying stereo photographs. Its biggest advantage is that it can be used on all existing display devices, and of course also printed on paper. The only tool you need are the special glasses. They have a red filter on their left eye, and a cyan filter on their right.

Anaglyph was invented in 1853 by Wilhelm Rollmann in Leipzig. The oldest anaglyphs were printed by a joint printing from two plates with red and green colours, or projected by a projector with two lenses through colour filters. The more suitable cyan colour came to be used later. One can also encounter drawn figures, especially in descriptive geometry. Currently, computer technology is used to create anaglyphs. You can find some free software for creating anaglyph on the internet, for example:

http://stereo.jpn.org/eng/stphmkr/index.html

An anaglyph is made up of colours that are complementary to each other. There are many such colour combinations, but not all of them are suitable. Today, the red-cyan combination is most often used, with the red filter on the left eye and the cyan filter on the right. In the past, red-green and red-blue combinations were also used, but they are not exactly complementary. Other combinations of complementary colours are, for example, blue – yellow and violet – green. An anaglyph is created by converting the image for the left eye (red filter) to a cyan-white scale, and the image for the right eye (cyan filter) to a red-white scale. The two images are then displayed over each other. In places where red and cyan meet, a black color or the corresponding shade of gray will be created. The observer then sees with each eye a black-and-white image formed by a complementary colour to the filter of the glasses, and thus creates a spatial perception in the brain from the two sub-images.

The biggest disadvantage of anaglyph is the already mentioned impossibility of displaying real colours. The other problem is 'ghosting', where each eye perceives some of the other-eye's view. This appears especially on contrasting edges, where dark and light surfaces alternate. The ghosts can arise for two reasons. The first and most common reason is the commonly used JPEG graphic format, which even with low compression stores image information in squares. Therefore, it is advisable to use uncompressed formats such as PNG or TIFF for anaglyphs. The second reason for ghosting might be the inaccurate colours of the created anaglyph. This may depend on the quality and calibration of the screen and printer.

Finally, how to take your own 3D photos? There are special cameras for making 3D photos, but you can make nice anaglyphs even without it. The only thing you need is to take two similar photos instead of one. Before taking the second picture you must move the camera approx. 7 cm to the right (or a little bit more). Then you can use the software mentioned above and it will make the anaglyph from your two photos. That’s all!